※ 引述《dreamenjoy (今天也很爽)》之銘言： : 1. : f(x)= 1 x為有理數 : 0 x為無理數 : 證lim f(x)不存在 : x→0 假設存在，極限為L 取ε=1/2 存在δ>0 使得 0<|x|<δ 時，有|f(x)-L|<1/2 令x_1為有理數滿足 0<|x_1|<δ, x_2為無理數滿足 0<|x_2|<δ 則f(x_1)=1 且 f(x_2)=0 因此 |1-L|<1/2 且 |0-L|<1/2 所以 L>1/2 且 L<1/2 矛盾 : 2. : 設x>0 證 x-x^2/2<ln(1+x)<x 設 f(x)=ln(1+x)-x+x^2/2 g(x)=x-ln(1+x) 1 x^2 => f'(x)= --- - 1 + x = ----- > 0 for x>0 1+x 1+x 1 x g'(x)= 1 - ----- = ----- > 0 for x>0 1+x 1+x => f(x) and g(x) are increasing functions since f(0) = 0 , g(0) = 0 => f(x)>0 and g(x)>0 for all x>0 => x-x^2/2<ln(1+x)<x : 3. : 無窮大 : 證遐積分∫ sinx/x dx 收斂 : 0 ∞ sinx 1 sinx ∞ sinx ∫ ------ dx = ∫ ------dx +∫ ------dx = (A) + (B) 0 x 0 x 1 x 1 x (A) < ∫ -----dx = 1 0 x -cosx b ∞ cosx (B) = lim (----- | ) + ∫ ------dx b→∞ x 1 1 x^2 ∞ cosx ∞ 1 since ∫ ------dx < ∫ ----dx =1 1 x^2 1 x^2 => (A)+(B) < ∞ : 4. : f(x)=2x^2-4x/x-1 : 求f(x)定義域 值域 : 太久沒看前1.2章...都忘記值域是啥了 定義域 : R\{1} 值域 : R (不確定) 有錯請指正 謝謝 --

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