作者rygb (再生)
看板trans_math
標題Re: [積分] 有e和ln的一些題目
時間Wed Jun 1 20:05:06 2011
※ 引述《four26 (426)》之銘言：
: 小弟不才 對於積分出現e和ln就會手足無措
: 現在在自學微積分遇到了下面這些問題都很困擾我
: 能否請版上的高手寫出詳細的計算過程讓小弟能領悟 謝謝
: 1.
: 1 y
: ∫∫(y^2)(e^xy) dxdy
: 0 0
1 y
= ∫∫y(e^xy) d
xydy
0 0
1 |x=y
= ∫ y(e^xy) | dy
0 |x=0
1 (y*y) 1 (y*y)
1 2 1
= ∫ ye -y dy = ∫ e d
---y -∫ y dy
0 0
2 0
2
y 2 1 |y=1 1
= (e - y )* ----- | = (e - 2) * ---
2 |y=0 2
: 2.
: ln2 0
: ∫ ∫2xe^y dxdy 上下界常數，且函數可分離
: 0 -1
0 ln2 y 2 |x= 0 y |y= ln2
=∫ 2xdx *∫ e dy = x | * e | = (0-1)* (2-1) = -1
-1 0 |x=-1 |y= 0
抱歉，第一次使用分離法，上下界沒對好，已修正。
: 3.
: ln2 1 x+y x y
: ∫ ∫e^x+y dxdy ∵e = e * e ,且函數可分離和上下界常數
: 0 0
ln2 y 1 x
= ∫ e dy* ∫ e dx
0 0
ln2 0 1 0 ln2
-1 指對數互為反函數
= (e - e ) (e - e ) e =
ln (ln2) = 2
1
= e - 1
: 4.
: 4 3 2
: ∫∫∫(lnx)^2/x^2 dxdydz
: 1 1 1
如同前面所說 可分解成 Integral by parts
2 2 2 2 2 - 1 lnx*lnx|x=2 2 6 2
= 3 * 2 ∫(lnx) / x dx = 6 ∫ (lnx) d --- = 6 -------| +∫---d(lnx)
1 1 x -x |x=1 1 x
2
(lnx) -12*lnx -1 |x=2 2
= 6 ------- + ------- + -12 x | = -3(ln2) -6(ln2) - 6 -(-12)
-x x |x=1
∵ln1 = 0
2
= -3(ln2) - 6 (ln2) + 6
: 板上的高手對於e和ln有什麼撇步嗎??
熟悉指數對數律即可。
還有記得他們互為反函數關係。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.34.122.244
1F：推 four26:第一題為何可以同時dxdy呢???我都是自學的122.116.208.231 06/01 20:59
2F：→ four26:不太懂箇中道理 煩請賜教 謝謝122.116.208.231 06/01 20:59
3F：→ hsnuyi:原PO 你微積分學到哪去了 第1,2題是怎麼了?220.137.188.135 06/01 21:01
4F：→ hsnuyi:d(xy) = ydx + xdy...220.137.188.135 06/01 21:02
※ 編輯: rygb 來自: 114.34.122.244 (06/01 21:33)
5F：→ rygb:抱歉 打完沒有檢查到錯誤 已修正 114.34.122.244 06/01 21:35
6F：→ rygb:你是要問d(xy) 還是dxdy? 不太懂你的問題 114.34.122.244 06/01 21:37
7F：→ four26:d(xy)的部分 為何y^2的2次方會在那一式不見122.116.208.231 06/01 21:43
8F：→ rygb:我將一個y移進去 114.34.122.244 06/01 21:47
9F：→ rygb:因為在對x積分時y是視為常數 114.34.122.244 06/01 21:49
10F：→ four26:謝謝 突然腦筋轉不過來 懂了!122.116.208.231 06/01 21:51