作者rygb (再生)
看板trans_math
标题Re: [积分] 有e和ln的一些题目
时间Wed Jun 1 20:05:06 2011
※ 引述《four26 (426)》之铭言：
: 小弟不才 对於积分出现e和ln就会手足无措
: 现在在自学微积分遇到了下面这些问题都很困扰我
: 能否请版上的高手写出详细的计算过程让小弟能领悟 谢谢
: 1.
: 1 y
: ∫∫(y^2)(e^xy) dxdy
: 0 0
1 y
= ∫∫y(e^xy) d
xydy
0 0
1 |x=y
= ∫ y(e^xy) | dy
0 |x=0
1 (y*y) 1 (y*y)
1 2 1
= ∫ ye -y dy = ∫ e d
---y -∫ y dy
0 0
2 0
2
y 2 1 |y=1 1
= (e - y )* ----- | = (e - 2) * ---
2 |y=0 2
: 2.
: ln2 0
: ∫ ∫2xe^y dxdy 上下界常数，且函数可分离
: 0 -1
0 ln2 y 2 |x= 0 y |y= ln2
=∫ 2xdx *∫ e dy = x | * e | = (0-1)* (2-1) = -1
-1 0 |x=-1 |y= 0
抱歉，第一次使用分离法，上下界没对好，已修正。
: 3.
: ln2 1 x+y x y
: ∫ ∫e^x+y dxdy ∵e = e * e ,且函数可分离和上下界常数
: 0 0
ln2 y 1 x
= ∫ e dy* ∫ e dx
0 0
ln2 0 1 0 ln2
-1 指对数互为反函数
= (e - e ) (e - e ) e =
ln (ln2) = 2
1
= e - 1
: 4.
: 4 3 2
: ∫∫∫(lnx)^2/x^2 dxdydz
: 1 1 1
如同前面所说 可分解成 Integral by parts
2 2 2 2 2 - 1 lnx*lnx|x=2 2 6 2
= 3 * 2 ∫(lnx) / x dx = 6 ∫ (lnx) d --- = 6 -------| +∫---d(lnx)
1 1 x -x |x=1 1 x
2
(lnx) -12*lnx -1 |x=2 2
= 6 ------- + ------- + -12 x | = -3(ln2) -6(ln2) - 6 -(-12)
-x x |x=1
∵ln1 = 0
2
= -3(ln2) - 6 (ln2) + 6
: 板上的高手对於e和ln有什麽撇步吗??
熟悉指数对数律即可。
还有记得他们互为反函数关系。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.34.122.244
1F：推 four26:第一题为何可以同时dxdy呢???我都是自学的122.116.208.231 06/01 20:59
2F：→ four26:不太懂个中道理 烦请赐教 谢谢122.116.208.231 06/01 20:59
3F：→ hsnuyi:原PO 你微积分学到哪去了 第1,2题是怎麽了?220.137.188.135 06/01 21:01
4F：→ hsnuyi:d(xy) = ydx + xdy...220.137.188.135 06/01 21:02
※ 编辑: rygb 来自: 114.34.122.244 (06/01 21:33)
5F：→ rygb:抱歉 打完没有检查到错误 已修正 114.34.122.244 06/01 21:35
6F：→ rygb:你是要问d(xy) 还是dxdy? 不太懂你的问题 114.34.122.244 06/01 21:37
7F：→ four26:d(xy)的部分 为何y^2的2次方会在那一式不见122.116.208.231 06/01 21:43
8F：→ rygb:我将一个y移进去 114.34.122.244 06/01 21:47
9F：→ rygb:因为在对x积分时y是视为常数 114.34.122.244 06/01 21:49
10F：→ four26:谢谢 突然脑筋转不过来 懂了!122.116.208.231 06/01 21:51