※ 引述《dreamaster (整理房間~~~~)》之銘言： : 有幾點真的想不太通： : 1.設二正數a.b的算術平均為A，幾何平均為G，調和平均為H，則AH=G的平方， : 且A大於等於G大於等於H(G=√ab)。 : 什麼是調和平均呢?又為什麼G會大於等於H呢？ : 2.Sn為等差級數的前n項和，如果Sn=Ann+Bn+0，則〈an〉為等差，(註：〈an〉為數列 : ，nn表示n的平方)；Sn=Ann+Bn+C，C不等於0，則〈an〉不為等差。 : 感覺很直觀，但是要如何跟別人解釋呢？ 這一題雖說是已回答過了，但當初解題那一刻，後學想到的是更有趣的事情 胡適喜歡說：「做人要在有疑處無疑，而做學問要在不疑處有疑」 那不妨來看看我心中的想法是怎樣的延伸 且看原題的 〈S_n〉＝An^2+Bn+C C≠0 這討論起來其實是相當有意思的.... S_n是數列的加總，一般稱為級數 或許我們也可以把級數也當成一個數列〈S_n〉，稱為「n項和數列」 既然是數列，可以有一般表達式 例題一：〈S_n〉=n^2－1 也就是說... 〈S_n〉= 0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 .... 他的相鄰兩項之差排列如下 3 5 7 9 11 .... 嚇！ 竟然發現〈S_n〉這個數列的相鄰兩項之差，構成一個等差數列 證明其實相當簡單 pf： 一數列〈S_n〉＝An^2＋Bn＋C 那麼第n項的差距就是 S_n+1－S_n＝2An＋(A＋B) 這便是以n為變數的一次方程，此即等差數列，公差為第一項係數2 換句話說：當一個數列為二次式時，此數列為「階差數列」 而將「等差級數」的前n項和，視為數列的話(當然是二次)，便是「階差數列」 但反過來說不往往正確，這我們已經講過了，必須沒有常數項 我們將上述階差數列當作「一級」 理當可繼續拓延到二級階差、三級階差.... 二級階差的例子如下： 例題二：〈S_n〉＝n^3－n^2＋n－1 〈S_n〉＝ 0 , 5 , 20 , 51 , 104 , 185 ..... 一次差分後為 5 15 31 53 81 .... 二次差分後為 10 16 22 28 ... → 這便是等差數列(線性函數) 現在我們可以離散的世界和連續的世界做一對照比較 所謂的數列，就是「離散化的函數」，換言之：定義域在自然數的函數 所謂的等差數列，就是離散化的一次線性函數 所謂等差數列的「公差」，在連續的世界裡面就是線性函數的斜率 所謂一級階差數列，就是離散化的拋物線函數 所謂二級階差數列，就是離散化三次函數....以此類推 所謂的差分（相鄰兩項之差），對應到連續世界就是微分， 還看二級階差數列....差分兩次竟變成等差？（ 一次函數） 所謂的和分，對應到連續世界就是積分 所謂的等比數列：a^n，就是離散化的指數函數， 而等比數列..還不如稱為「指數數列」 所謂等比數列的「公比」，在連續的世界裡面就是指數函數的底數 值此，一個有趣的聯想醞釀好了... 過去學過微積分的總說：以e為底的指數函數為最自然、最方便 原因婦孺皆知：以此數為底，微分維持不變性，所以e在連續的世界為「最自然數」 既然連續世界的微分對應到離散空間，是差分的動作， 那麼「指數數列」（等比數列），以誰為底數最自然呢？ 驗證如下：△a^n＝(a^n+1)－(a^n)＝a^n(a－1) 要維持a^n，也就是差分指數數列後，維持不變性，只有一個可能，即a＝2 電腦的世界二進位，訊息理論使用以2為底的對數...... 這些離散的世界，以2為底的數列最方便，以2為最自然的數， 這就是本末來由，「知其然而知其所以然」的真正原因 --

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