※ 引述《dreamaster (整理房间~~~~)》之铭言： : 有几点真的想不太通： : 1.设二正数a.b的算术平均为A，几何平均为G，调和平均为H，则AH=G的平方， : 且A大於等於G大於等於H(G=√ab)。 : 什麽是调和平均呢?又为什麽G会大於等於H呢？ : 2.Sn为等差级数的前n项和，如果Sn=Ann+Bn+0，则〈an〉为等差，(注：〈an〉为数列 : ，nn表示n的平方)；Sn=Ann+Bn+C，C不等於0，则〈an〉不为等差。 : 感觉很直观，但是要如何跟别人解释呢？ 这一题虽说是已回答过了，但当初解题那一刻，後学想到的是更有趣的事情 胡适喜欢说：「做人要在有疑处无疑，而做学问要在不疑处有疑」 那不妨来看看我心中的想法是怎样的延伸 且看原题的 〈S_n〉＝An^2+Bn+C C≠0 这讨论起来其实是相当有意思的.... S_n是数列的加总，一般称为级数 或许我们也可以把级数也当成一个数列〈S_n〉，称为「n项和数列」 既然是数列，可以有一般表达式 例题一：〈S_n〉=n^2－1 也就是说... 〈S_n〉= 0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 .... 他的相邻两项之差排列如下 3 5 7 9 11 .... 吓！ 竟然发现〈S_n〉这个数列的相邻两项之差，构成一个等差数列 证明其实相当简单 pf： 一数列〈S_n〉＝An^2＋Bn＋C 那麽第n项的差距就是 S_n+1－S_n＝2An＋(A＋B) 这便是以n为变数的一次方程，此即等差数列，公差为第一项系数2 换句话说：当一个数列为二次式时，此数列为「阶差数列」 而将「等差级数」的前n项和，视为数列的话(当然是二次)，便是「阶差数列」 但反过来说不往往正确，这我们已经讲过了，必须没有常数项 我们将上述阶差数列当作「一级」 理当可继续拓延到二级阶差、三级阶差.... 二级阶差的例子如下： 例题二：〈S_n〉＝n^3－n^2＋n－1 〈S_n〉＝ 0 , 5 , 20 , 51 , 104 , 185 ..... 一次差分後为 5 15 31 53 81 .... 二次差分後为 10 16 22 28 ... → 这便是等差数列(线性函数) 现在我们可以离散的世界和连续的世界做一对照比较 所谓的数列，就是「离散化的函数」，换言之：定义域在自然数的函数 所谓的等差数列，就是离散化的一次线性函数 所谓等差数列的「公差」，在连续的世界里面就是线性函数的斜率 所谓一级阶差数列，就是离散化的抛物线函数 所谓二级阶差数列，就是离散化三次函数....以此类推 所谓的差分（相邻两项之差），对应到连续世界就是微分， 还看二级阶差数列....差分两次竟变成等差？（ 一次函数） 所谓的和分，对应到连续世界就是积分 所谓的等比数列：a^n，就是离散化的指数函数， 而等比数列..还不如称为「指数数列」 所谓等比数列的「公比」，在连续的世界里面就是指数函数的底数 值此，一个有趣的联想酝酿好了... 过去学过微积分的总说：以e为底的指数函数为最自然、最方便 原因妇孺皆知：以此数为底，微分维持不变性，所以e在连续的世界为「最自然数」 既然连续世界的微分对应到离散空间，是差分的动作， 那麽「指数数列」（等比数列），以谁为底数最自然呢？ 验证如下：△a^n＝(a^n+1)－(a^n)＝a^n(a－1) 要维持a^n，也就是差分指数数列後，维持不变性，只有一个可能，即a＝2 电脑的世界二进位，讯息理论使用以2为底的对数...... 这些离散的世界，以2为底的数列最方便，以2为最自然的数， 这就是本末来由，「知其然而知其所以然」的真正原因 --

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