※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言： : ※ 引述《humid0104 (小沙)》之銘言： : : 不好意思請問一下~~~有點小忘記了~~ : : 如果有一個數除以三餘一~~除以五餘二~~除以七餘三~~ : : 那請問這個數的最小數為多少呀~~ : : 請問有什麼方法解呢~~如果用代數也解的出來嗎~~ : : 不好意思~`請高手幫忙解答一下~~謝謝 : from the proposition, : we assume "x" is the smallest positive integer such that : x≡1（mod3） : x≡2（mod5） : x≡3（mod7） : 3、5、7 are coprime each other，by Chinese remainder thm. : this linear system has the unique solution : use Euclidean Algorithm，we can find x as follows : x≡(1*70＋2*21＋3*15)(mod105)≡52(mod105) : the answer is 52 如果你題目改成餘數為 1、3、5，或是 2、2、2 這一類， 那麼還勉強算的上國中問題（應該是高一） 因為你餘數是1、2、3，所以難度三級跳 此為數論(number theory)裡的「不定方程問題」(indeterminate eq.) 沒有一些初等數論訓練的學生， 這一題仍然可以使用線性代數的立場來看待 x＝3u+r_1 x＝5v+r_2 x＝7w+r_3 以代數觀點而言，這樣的餘數，無法經由變數變換化為齊性線性方程 （如果是1、3、5，或是 2、2、2 這一類，就可以，答案幾乎目視可得） 而要解「特解」與「齊性解」所建構通解，（中學生並沒有這樣的數學概念） 通解當然有無窮多組， 但因為限制在mod105下的最小整數，所以解唯一 This is the content of Chinese remainder thm.,but i express by L.A. define "L" is a linear operation L(x)＝[r_1,r_2,r_3]^T this is nonhomogenous linear system solve L(x)＝[1,0,0] this is the homogenous sol. we have x_0＝105n (n is integer) now we have to find particular sol. x_p＝70r_1＋21r_2＋15r_3 general sol. is the linear superposition of x_0 and x_p x＝70r_1＋21r_2＋15r_3＋105n (n is integer) input [r_1,r_2,r_3]＝[1,2,3] and we confine x is smallest positive integer so take n＝-1 x＝70*1+21*2+15*3－105＝52 這種數論問題，古時候叫「鬼谷算」，或是「大衍求一術」 解的唯一性是根據著名的「中國剩餘定理」 這篇文章的價值在於，揭示此問題與線性代數核心理論間，具有的細膩關聯性 --

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