※ 引述《yonex (戴奥尼索斯)》之铭言： : ※ 引述《humid0104 (小沙)》之铭言： : : 不好意思请问一下~~~有点小忘记了~~ : : 如果有一个数除以三余一~~除以五余二~~除以七余三~~ : : 那请问这个数的最小数为多少呀~~ : : 请问有什麽方法解呢~~如果用代数也解的出来吗~~ : : 不好意思~`请高手帮忙解答一下~~谢谢 : from the proposition, : we assume "x" is the smallest positive integer such that : x≡1（mod3） : x≡2（mod5） : x≡3（mod7） : 3、5、7 are coprime each other，by Chinese remainder thm. : this linear system has the unique solution : use Euclidean Algorithm，we can find x as follows : x≡(1*70＋2*21＋3*15)(mod105)≡52(mod105) : the answer is 52 如果你题目改成余数为 1、3、5，或是 2、2、2 这一类， 那麽还勉强算的上国中问题（应该是高一） 因为你余数是1、2、3，所以难度三级跳 此为数论(number theory)里的「不定方程问题」(indeterminate eq.) 没有一些初等数论训练的学生， 这一题仍然可以使用线性代数的立场来看待 x＝3u+r_1 x＝5v+r_2 x＝7w+r_3 以代数观点而言，这样的余数，无法经由变数变换化为齐性线性方程 （如果是1、3、5，或是 2、2、2 这一类，就可以，答案几乎目视可得） 而要解「特解」与「齐性解」所建构通解，（中学生并没有这样的数学概念） 通解当然有无穷多组， 但因为限制在mod105下的最小整数，所以解唯一 This is the content of Chinese remainder thm.,but i express by L.A. define "L" is a linear operation L(x)＝[r_1,r_2,r_3]^T this is nonhomogenous linear system solve L(x)＝[1,0,0] this is the homogenous sol. we have x_0＝105n (n is integer) now we have to find particular sol. x_p＝70r_1＋21r_2＋15r_3 general sol. is the linear superposition of x_0 and x_p x＝70r_1＋21r_2＋15r_3＋105n (n is integer) input [r_1,r_2,r_3]＝[1,2,3] and we confine x is smallest positive integer so take n＝-1 x＝70*1+21*2+15*3－105＝52 这种数论问题，古时候叫「鬼谷算」，或是「大衍求一术」 解的唯一性是根据着名的「中国剩余定理」 这篇文章的价值在於，揭示此问题与线性代数核心理论间，具有的细腻关联性 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 211.74.7.117 ※ 编辑: yonex 来自: 211.74.7.117 (11/12 21:56)