※ 引述《seedpig (這世界太過於無聊)》之銘言： : ※ 引述《inwinter (冬天不下雪)》之銘言： : : 已知一等比數列a3=3, a7=13. 求a1=?, 公比r=? : : 答案是a1=3/2 ,r=2^(1/2),-(2)^(1/2) : : 可是，怎樣想都覺得怪怪的.... : : 課本裡面也沒定義數列必須是實數 : : 所以答案應該是有2個才是 : : 當r=2^(1/2) or -2^(1/2) 時, a1=3/2 : : 當r=2^(1/2)i or -2^(1/2)i 時, a1=-3/2 : : 請問這樣對嗎? : 所謂虛數 指的是不存在的數 這裡不討論什麼「物自身」那種形而上的問題 就唯物觀點來看，所有的「數」都是不存在的 實數沒有比虛數來的更實在，虛數也不比實數來的更飄渺 一切都是公設演繹底下的人造產物罷了(可參考拙文，目前是本板1582篇) 有趣的一個例子是：i^i＝e^(-0.5π) （虛極而實耶？！） : 不存在 哪來的比大小 一般課本 就應該有提到 複數 是不能比大小 「為什麼」複數之間不能比較大小？ 我想講一下原因（或許有些人感到好奇） 首先 如果我們問：複數有沒有大小，這樣講可能有點危險（爭議）， _ 因為複數是一個賦值體，可以取絕對值 ∣z∣＝√(zz) 並且同實數一樣，是個「賦距集合」（空間）， 含有「距離長度」的概念，在高斯平面上這性質表現的很具體 所以今天講一個複數的「大小」，我可能會聯想到他的「長短」 (沒有西斯呀 @@~) 但是複數間不能比較大小，這是很確定的一項聲明， 因為他不滿足「有序公設」，我們對實數的大小順序，是以此公設來規範的 什麼是有序公設？ 例如：三一律 x＜y x＝y x ＞y 三者必居其一 命題：「說明虛數i不滿足三一律」（無法比較大小） 首先，當然 i≠0 , 那麼一定 i＞0 或 i＜0 「假設」 i＞0 則 i^2＞0 得到 －1＞0 什麼？ －1＞0，這看似荒謬，但還沒辦法歸謬，因為我們還不知道這件事情是錯的 若將－1＞0 兩邊同加1，可得 0＞1 若將－1＞0 兩邊同乘－1，得到 1＞0 （不等式不會變向，因為這裡－1＞0） 一條式子我們同時得到 0＞1 且 1＞0，恰好與三一律抵觸， 所以假設 i＞0 是錯的， 同樣地，假設i＜0也會有抵觸三一律的結果，所以假設i＜0也非真 所以i不滿足有序公設（如：三一律），因此虛數之間無法比較大小 : 而比例 就是奠基在兩個數可以比大小 「兩個數的比」，如果我沒認知錯誤的話，跟除法應該是蠻有關係的吧 複數雖然不能比大小，但是他可以運算：加、減、乘、除，而不失自身 講成數學的「黑話」就是：複數滿足「體公設」（Field Axiom） 像是自然數便不滿足體公設，因為他不能任意做減法而不失自身 3－5＝－2 －2不再是自然數了，所以在代數結構上，自然數和整數都不是「體」 而有理數、實數、複數，都是體，前兩者是「有序體」，而複數是「無序體」 總之，既然複數是個體，那他當然可以做除法囉，當然可以比囉～～ : 好吧 : 再不信 隨便舉個反例 : 一個數列 1 2i 4乘i^2 8乘i^3 16乘i^4 : 首項1 公比2i : 直接加起來整理 -6i+13 : 用等比數列 Sn 的公式 卻算出 6i-13 : (Sn 請用 首項 乘 (r^n-1)/r-1) 這只是代數運算的問題，整理後是一樣的結果 附帶一提的：函數成立的條件，要比數列要嚴格的多 也這樣粗淺的說：數列只是「離散化」的函數 初等的複變函數，我想許多人都稍微有學過 複數數列如果說是不存在或沒定義，那麼複變函數是絕對不可能活著的... 複數級數當然也不例外（級數完全是數列的一種特殊形式，稱部分和數列） 在工程上應用極廣的傅立業轉換， 其實就是...傅立業級數將正餘弦利用Euler定理和虛數牽扯，然後積分而得 最後想說的是，如果有人推文說：不是讀數學系的不要亂講話 恩～～我還真不知道原來數學系有這麼偉大，話都不會講錯 以前有一個老兄叫Euler，他寫過一本「複數函數論」， 裡面開宗明義第一句就是：「複數是不存在的數，人類永遠不必面對這樣的一個問題」 歷史證實了Euler真的亂講話， 我猜Euler一定不是數學系畢業的，他只是有史以來最偉大的數學家而已... --

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