※ 引述《seedpig (这世界太过於无聊)》之铭言： : ※ 引述《inwinter (冬天不下雪)》之铭言： : : 已知一等比数列a3=3, a7=13. 求a1=?, 公比r=? : : 答案是a1=3/2 ,r=2^(1/2),-(2)^(1/2) : : 可是，怎样想都觉得怪怪的.... : : 课本里面也没定义数列必须是实数 : : 所以答案应该是有2个才是 : : 当r=2^(1/2) or -2^(1/2) 时, a1=3/2 : : 当r=2^(1/2)i or -2^(1/2)i 时, a1=-3/2 : : 请问这样对吗? : 所谓虚数 指的是不存在的数 这里不讨论什麽「物自身」那种形而上的问题 就唯物观点来看，所有的「数」都是不存在的 实数没有比虚数来的更实在，虚数也不比实数来的更飘渺 一切都是公设演绎底下的人造产物罢了(可参考拙文，目前是本板1582篇) 有趣的一个例子是：i^i＝e^(-0.5π) （虚极而实耶？！） : 不存在 哪来的比大小 一般课本 就应该有提到 复数 是不能比大小 「为什麽」复数之间不能比较大小？ 我想讲一下原因（或许有些人感到好奇） 首先 如果我们问：复数有没有大小，这样讲可能有点危险（争议）， _ 因为复数是一个赋值体，可以取绝对值 ∣z∣＝√(zz) 并且同实数一样，是个「赋距集合」（空间）， 含有「距离长度」的概念，在高斯平面上这性质表现的很具体 所以今天讲一个复数的「大小」，我可能会联想到他的「长短」 (没有西斯呀 @@~) 但是复数间不能比较大小，这是很确定的一项声明， 因为他不满足「有序公设」，我们对实数的大小顺序，是以此公设来规范的 什麽是有序公设？ 例如：三一律 x＜y x＝y x ＞y 三者必居其一 命题：「说明虚数i不满足三一律」（无法比较大小） 首先，当然 i≠0 , 那麽一定 i＞0 或 i＜0 「假设」 i＞0 则 i^2＞0 得到 －1＞0 什麽？ －1＞0，这看似荒谬，但还没办法归谬，因为我们还不知道这件事情是错的 若将－1＞0 两边同加1，可得 0＞1 若将－1＞0 两边同乘－1，得到 1＞0 （不等式不会变向，因为这里－1＞0） 一条式子我们同时得到 0＞1 且 1＞0，恰好与三一律抵触， 所以假设 i＞0 是错的， 同样地，假设i＜0也会有抵触三一律的结果，所以假设i＜0也非真 所以i不满足有序公设（如：三一律），因此虚数之间无法比较大小 : 而比例 就是奠基在两个数可以比大小 「两个数的比」，如果我没认知错误的话，跟除法应该是蛮有关系的吧 复数虽然不能比大小，但是他可以运算：加、减、乘、除，而不失自身 讲成数学的「黑话」就是：复数满足「体公设」（Field Axiom） 像是自然数便不满足体公设，因为他不能任意做减法而不失自身 3－5＝－2 －2不再是自然数了，所以在代数结构上，自然数和整数都不是「体」 而有理数、实数、复数，都是体，前两者是「有序体」，而复数是「无序体」 总之，既然复数是个体，那他当然可以做除法罗，当然可以比罗～～ : 好吧 : 再不信 随便举个反例 : 一个数列 1 2i 4乘i^2 8乘i^3 16乘i^4 : 首项1 公比2i : 直接加起来整理 -6i+13 : 用等比数列 Sn 的公式 却算出 6i-13 : (Sn 请用 首项 乘 (r^n-1)/r-1) 这只是代数运算的问题，整理後是一样的结果 附带一提的：函数成立的条件，要比数列要严格的多 也这样粗浅的说：数列只是「离散化」的函数 初等的复变函数，我想许多人都稍微有学过 复数数列如果说是不存在或没定义，那麽复变函数是绝对不可能活着的... 复数级数当然也不例外（级数完全是数列的一种特殊形式，称部分和数列） 在工程上应用极广的傅立业转换， 其实就是...傅立业级数将正余弦利用Euler定理和虚数牵扯，然後积分而得 最後想说的是，如果有人推文说：不是读数学系的不要乱讲话 恩～～我还真不知道原来数学系有这麽伟大，话都不会讲错 以前有一个老兄叫Euler，他写过一本「复数函数论」， 里面开宗明义第一句就是：「复数是不存在的数，人类永远不必面对这样的一个问题」 历史证实了Euler真的乱讲话， 我猜Euler一定不是数学系毕业的，他只是有史以来最伟大的数学家而已... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 211.74.7.117 ※ 编辑: yonex 来自: 211.74.7.117 (11/13 00:02)