※ 引述《armopen (考個沒完)》之銘言： : : 試問： Σ(－1)^n＝？ : : 令 y＝Σ(－1)^n : : y＝ 1－1＋1－1＋1－1＋..... : : ＝ 1－（1＋1－1＋1－1＋....） : : ＝1－y : : 所以 y＝0.5 （？） : 在 Ceasero summability 的概念下，此級數的確收斂到 0.5，看你站在什麼觀點之下。 唉～～生平誤識字，恨不入漁家... OK，等等公海到了，我會自己跳的... 的確，在下舉的這個例子（嚴格說起來不太好），發散程度沒這麼強， 在微積分（數學分析）裡，就是所謂的弱收斂（在某意義下的summability） 一般在初等數學裡，是不探討發散性的強弱...（一律視為發散） 這種問題統稱Tauber型定理... 既然討論到弱收斂形式，此級數收斂的條件還可以再更弱些 也就是，Σ（－1）^m 是可以 Abel summability （阿貝爾可和） Abel極限定理告訴我們，當Σa_m收斂時，則當z沿Stolz域趨近於1時 limΣa_m‧z^m＝Σa_m z→1 1 Σ（－1）^m‧z^m＝ ------- ∣z∣＜1 成立 1＋z 所以，limΣ（－1）^m‧z^m＝0.5 事實上，像這樣的級數Σa_m，本身不管收斂或發散，如果： Σa_m‧z^m的收斂半徑至少為1，且 limΣa_m‧z^m＝S 存在 就稱Σa_m Abel可和到S （Σa_m在Abel意義下的收斂） 記為 Σa_m＝S （A） 是故，本例題 Σ（－1）^m＝0.5 （A） 當然，Σ（－1）^m 的「部分和數列之算數平均值數列」（σ）亦收斂 ﹑ 因此在Cesaro的意義下依然是收斂至0.5 記為：Σ（－1）^m＝0.5 （C） ﹑ 如果對級數論稍有涉獵的人，該是知道 Cesaro summability 條件較強 ﹑ Cesaro summability 必然 Abel summability，反之不真（Frobenius Thm） ﹑ （例如： Σ（－1）^m‧（m＋1）＝0.25 (A) 但是無法 Cesaro 求和） 就我所知...Tauber定理提出後（Tauber條件較 Abel 可和條件劇烈） 此後20～30年間（20世紀初）， 一些數學大家（Hardy、Littlewood、Landau等）紛紛提出定理將Tauber定理條件降弱 （條件太強，不會成為好定理） 實分析、調和分析中，級數發散程度的探討糾纏不清， 更直接應用在機率論的隨機過程、質數理論之證明..... 冪級數斂散性理論在（高等）微積分中份量是極重的 並且，我想很多人會同意，鑑別一個學生對於（高等）微積分（數學分析）了解的程度 很可以由他對Abel（型）定理認識的深淺來掌握... ....公海到了嗎？.... -- http://www.wretch.cc/album/yonex119 耶～～\O/..我也有相簿了，新手上路中 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.70.89.103 ※ 編輯: yonex 來自: 203.70.89.103 (04/20 10:13)