※ 引述《armopen (考个没完)》之铭言： : : 试问： Σ(－1)^n＝？ : : 令 y＝Σ(－1)^n : : y＝ 1－1＋1－1＋1－1＋..... : : ＝ 1－（1＋1－1＋1－1＋....） : : ＝1－y : : 所以 y＝0.5 （？） : 在 Ceasero summability 的概念下，此级数的确收敛到 0.5，看你站在什麽观点之下。 唉～～生平误识字，恨不入渔家... OK，等等公海到了，我会自己跳的... 的确，在下举的这个例子（严格说起来不太好），发散程度没这麽强， 在微积分（数学分析）里，就是所谓的弱收敛（在某意义下的summability） 一般在初等数学里，是不探讨发散性的强弱...（一律视为发散） 这种问题统称Tauber型定理... 既然讨论到弱收敛形式，此级数收敛的条件还可以再更弱些 也就是，Σ（－1）^m 是可以 Abel summability （阿贝尔可和） Abel极限定理告诉我们，当Σa_m收敛时，则当z沿Stolz域趋近於1时 limΣa_m‧z^m＝Σa_m z→1 1 Σ（－1）^m‧z^m＝ ------- ∣z∣＜1 成立 1＋z 所以，limΣ（－1）^m‧z^m＝0.5 事实上，像这样的级数Σa_m，本身不管收敛或发散，如果： Σa_m‧z^m的收敛半径至少为1，且 limΣa_m‧z^m＝S 存在 就称Σa_m Abel可和到S （Σa_m在Abel意义下的收敛） 记为 Σa_m＝S （A） 是故，本例题 Σ（－1）^m＝0.5 （A） 当然，Σ（－1）^m 的「部分和数列之算数平均值数列」（σ）亦收敛 ﹑ 因此在Cesaro的意义下依然是收敛至0.5 记为：Σ（－1）^m＝0.5 （C） ﹑ 如果对级数论稍有涉猎的人，该是知道 Cesaro summability 条件较强 ﹑ Cesaro summability 必然 Abel summability，反之不真（Frobenius Thm） ﹑ （例如： Σ（－1）^m‧（m＋1）＝0.25 (A) 但是无法 Cesaro 求和） 就我所知...Tauber定理提出後（Tauber条件较 Abel 可和条件剧烈） 此後20～30年间（20世纪初）， 一些数学大家（Hardy、Littlewood、Landau等）纷纷提出定理将Tauber定理条件降弱 （条件太强，不会成为好定理） 实分析、调和分析中，级数发散程度的探讨纠缠不清， 更直接应用在机率论的随机过程、质数理论之证明..... 幂级数敛散性理论在（高等）微积分中份量是极重的 并且，我想很多人会同意，监别一个学生对於（高等）微积分（数学分析）了解的程度 很可以由他对Abel（型）定理认识的深浅来掌握... ....公海到了吗？.... -- http://www.wretch.cc/album/yonex119 耶～～\O/..我也有相簿了，新手上路中 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.70.89.103 ※ 编辑: yonex 来自: 203.70.89.103 (04/20 10:13)