※ 引述《aaaccciii (safe)》之銘言： : 若有學生像下面這樣做，請問哪裡做錯？ : ∞ : Σ(-3/2)^n =1-3/2+9/4+.....=x : n=0 : ∞ : 2Σ(-3/2)^n =2-3+9/2 ……. : n=0 : 2x=-1+(9/2)x : x=2/5 這個問題可以從兩個層面來看 1. 已經知道原級數發散，這樣的作法求和錯在哪裡？ 2. 既然有這麼一套方法可以求此類級數和，為何不將這種級數和定成這樣？ 針對 1. 對於級數的和，定義為 加到第 n 項，在將 n 逼近到無限大。 而沒有辦法直接對整個級數去做加減乘除的動作，甚至於搬項。 雖然我們已經知道如果級數收斂，可以將她們加加減減，但是如果要求級數和， 意思就是你不知道他收斂或發散，所以不能整個級數去作。 _ _ 最常見的例子，常常有證明 0.9 = 1 的証明，會先令 x = 0.9 _ 然後利用 9x = 9.9 級數相減，求出 x = 1 每次這樣的證明都被批評不嚴謹，到底不嚴謹在哪，就是在此。 對於級數的求和不能相加、相減、搬項，舉出 1 + 2 + 4 + ... 或是 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... 來做為例子不錯，但是要當做理由稍嫌不足，原因是因為如果原題的方法是對的， 那麼 1 + 2 + 4 + .. 也可以定為 -1, 1 - 1 + 1 -1 + 1... 也可以定為 0.5 他們是同時對，同時錯的。 高中部分未就數列極限的定義以及無限級數和定義做說明，倒是會造成不少困擾。 但是與高等數學有關的部分僅限於此，硬是要牽扯其他高等數學的部份進來， 實在很怪，而且往往錯的離譜。 -- 慾望會死亡，因為每一次的觸摸，都耗損了它的神奇 W. B. Yeats --

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