※ 引述《aaaccciii (safe)》之铭言： : 若有学生像下面这样做，请问哪里做错？ : ∞ : Σ(-3/2)^n =1-3/2+9/4+.....=x : n=0 : ∞ : 2Σ(-3/2)^n =2-3+9/2 ……. : n=0 : 2x=-1+(9/2)x : x=2/5 这个问题可以从两个层面来看 1. 已经知道原级数发散，这样的作法求和错在哪里？ 2. 既然有这麽一套方法可以求此类级数和，为何不将这种级数和定成这样？ 针对 1. 对於级数的和，定义为 加到第 n 项，在将 n 逼近到无限大。 而没有办法直接对整个级数去做加减乘除的动作，甚至於搬项。 虽然我们已经知道如果级数收敛，可以将她们加加减减，但是如果要求级数和， 意思就是你不知道他收敛或发散，所以不能整个级数去作。 _ _ 最常见的例子，常常有证明 0.9 = 1 的证明，会先令 x = 0.9 _ 然後利用 9x = 9.9 级数相减，求出 x = 1 每次这样的证明都被批评不严谨，到底不严谨在哪，就是在此。 对於级数的求和不能相加、相减、搬项，举出 1 + 2 + 4 + ... 或是 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... 来做为例子不错，但是要当做理由稍嫌不足，原因是因为如果原题的方法是对的， 那麽 1 + 2 + 4 + .. 也可以定为 -1, 1 - 1 + 1 -1 + 1... 也可以定为 0.5 他们是同时对，同时错的。 高中部分未就数列极限的定义以及无限级数和定义做说明，倒是会造成不少困扰。 但是与高等数学有关的部分仅限於此，硬是要牵扯其他高等数学的部份进来， 实在很怪，而且往往错的离谱。 -- 慾望会死亡，因为每一次的触摸，都耗损了它的神奇 W. B. Yeats --

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