朋友，謝謝你的指教， 我沒有意料到那篇無心插柳的論述，會引起任何迴響（或是誤解） 夜裡修書詞不盡義，加以身疲體乏， 因而有些主題疏於交代，或是一筆帶過 這固然歸咎於我個人的苟且，亦有實不得已也的難言之隱.... 那樣的主題若真要嚴肅地去探討，肯定是長篇累牘，臭不可聞 這裡並非數學論壇，讀者多半沒有正統學院派的數學訓練背景 若是搬出洋洋灑灑的論證過程，無異於堆砌一整堆晦澀艱深的專有名詞 而三言兩語含糊交代，簡直是念「揭諦揭諦，波羅揭諦」，全無用處。 嘖嘖～～雖巧婦亦難以為炊，何況孤陋筆拙如我.... 黑底白字，諸多難以克服的障礙，我的笨筆搖不出感慨的一萬分之一二 不過既然有人再次提出疑義，我也只好懷著十五個七上八下的水桶，勉強為之了 想聲明在先的是，在下見識、學養都很貧弱，只能硬著頭皮去「強詞奪理」 任何的非難都很歡迎，不過請先想想格於環境下所存在的難言之苦 ------------------ 1.Cesaro summability 的定義源自於 Cesaro Thm 給定兩收斂級數 Σz_m及Σw_m， 則其Cauchy Product Σu_m（不一定要收斂） 必滿足 Δ_1＋Δ_2＋.....＋Δ_m lim ------------------------- ＝（Σz_m）（Σw_m） m 其中Δ_m為Σu_m首m項的partial sum，尤其，若Σu_m收斂， 必使其收斂值Σu_m＝（Σz_m）（Σw_m） Cesaro Thm 說明了兩級數的Cauchy Product雖然不一定收斂， 但卻可以以一種「較弱型態」的收斂 我們定義這種 Cesaro Thm 的收斂方式為： Cesaro summable to （Σz_m）（Σw_m） (此證明可參閱任何一本級數論的專書，例如：Hardy 、Knopp...etc. ) 這其實是 Abel 的結果，換言之，兩收斂級數 Σz_m及Σw_m 其Cauchy Product 亦將Abel可和到（Σz_m）（Σw_m） （即使Cauchy Product發散了） (這證明使用Abel limit Thm，並不怎麼困難，不過也請參閱專書) 這清楚說明了，Abel summable 是一種「較弱型態」的收斂 由此，我們的確可以看出兩者的關連性，一般高微課本對發散級數探討著墨極少 即使如Apostol者，對Cesaro summability也僅是草草幾句帶過 因而學生很難對Cesaro的本末來由具備任何了解 2.上文所提的「弱收斂」，當然不是指weak convergence，而是「較弱型態的收斂」 這主題很有強、弱比較的味道（無論是條件、結果）， 狹義或是廣義收斂顯然存在文字上的缺陷 而拉哩拉匝的囉唆又非我所好（如：在某意義下的summability、較弱型態的收斂...） 這是我自己的怠忽苟且鋪成了誤解的道路，算不上什麼冤枉 3.「Cesaro summability 必然 Abel summability，反之不真」 在紹雄師所著理論分析初步，p.653 註名此定（系）理為 Frobenius 若是說今天有一位仁兄....嘴提Euler定理、Gauss定理， 天知道他講的是哪一個？（掛名兩位大師的定理多如牛毛） 竊以為重點是定理的內容，叫什麼名字倒不這麼重要 另外，這定理清楚的說明，兩者以間以 Abel summability 為較弱型態的收斂 在接下來即將陳述的 Tauber（型）理論上，將具有直接有利的應用 4.中國智謀36計裡的「圍魏救趙」，在數學上的使用是屢見不鮮的.... 孫臏率齊軍營救被魏軍包圍的邯單城，主將田忌試圖帥兵直奔趙國，與魏軍決一死戰 這計畫孫臏期期以為不可...曰： 「若要解開一個死結，不能用蠻力強拉硬扯，要解除重圍亦然 需避其銳氣，擊其惰歸。魏軍傾其精銳去攻打趙國，國內已無重兵防守。 選擇攻打魏國都成大梁，魏軍將立即停止包圍邯單，班師回朝， 長途疾行之軍，想必筋疲力盡，我等以逸待勞可一舉得勝」 這招「圍魏救趙」說穿了就是「避實就虛」的伎倆.... OK～～～該是回頭看看數學了，聽聽 Tauber 定理怎麼說： 若級數Σa_m＝S （A），且 lim(m‧a_m)＝0 成立（此即Tauber條件） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 則原級數 Σa_m「狹義收斂」，且 Σa_m＝S ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 無論是過去或現在，將無窮級數「直接求和」始終是極難的課題 Abel求和法若是存在可行性，僅需加上Tauber條件成立， 一切不能也、不為也的困難問題便告迎刃而解， 這不正是36計裡避其銳氣「圍魏救趙」的最佳代言嗎？ 孫子曰：「夫兵形象水，.....水常無形，能『變』敵而化取勝者，謂之神！」 Tauber在提出並證明了定理後，一連串數學大師紛紛因勢利導，群起效尤 如Hardy、Littlewood、Landau、Winener...等 （將Tauber定理推廣或是減弱條件） 這一類的結果的匯集便是為 Tauber （型）定理 舉例如：Hardy- Littlewood的 Tauber （型）定理 若級數Σa_m＝S （A），且{m‧a_m}有界， 則原級數 Σa_m「狹義收斂」，且 Σa_m＝S 另外，Abel倒還不是最常用的可和法，回頭看看本文第三項（Frobenius） Ceasro summability 必然 Abel summability ，此外還有Toeplitz summability亦然 (Ceasro為Toeplitz求和法的特例，還有一大堆我講不出名字的求和法....) 因而Cesaro等求和法順勢具備了Tauber（型）定理的良好結果.... 總地說：我們以Abel limit Thm 的方式來討論某些本來發散的級數， 給予他們一種「和」的概念 設法把這些發散級數規則化(regularization) ， 從而對發散級數有一種討論「發散程度」的概念 這便是此類級數求和法的精要，另外重要的一點是，什麼時候原級數收斂？ 這一類的結果便稱為 Tauber（型）定理， 因而，發散級數（在XXX下可和性）的研究可能在某些場合下較收斂級數更為重要！ 數學的本質寓於演繹，既定的公設或定義都有他存在的價值， Abel (Ceasro) summability 定義亦然，他不是無的放矢，更不是天上掉下來的禮物 當我們深感納悶，很可能是因為我們見識的短淺所致 --- Σ（-1）^n 不就發散嗎？ 是的，他發散，不能代數四則，亦不能rearrangement （詳見我回復本系列文的第一篇） 但是我們還是可以探討他，這可能是為了更高境界的理由......... --- 先前存有對於發散級數「求和」研究價值的懷疑 （這些求和法 almsot nonsense嘛～～） 若這篇膚淺孤陋的短文， 對極少數人（不敢奢望）能有「以管窺天」、「點到為止」的效應，則吾願足矣.... 在數學的戰場上我早已陣亡，只是琴劍猶存，棄之可惜.... 值此，殘存的體力與精神都已到達一個極致，眼耳鼻口已不聽使喚 西方人說：「Hell is paved with good intensions」 幸好....公海到了 -- http://www.wretch.cc/album/yonex119 耶～～\O/..我也有相簿了，新手上路中 --

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