朋友，谢谢你的指教， 我没有意料到那篇无心插柳的论述，会引起任何回响（或是误解） 夜里修书词不尽义，加以身疲体乏， 因而有些主题疏於交代，或是一笔带过 这固然归咎於我个人的苟且，亦有实不得已也的难言之隐.... 那样的主题若真要严肃地去探讨，肯定是长篇累牍，臭不可闻 这里并非数学论坛，读者多半没有正统学院派的数学训练背景 若是搬出洋洋洒洒的论证过程，无异於堆砌一整堆晦涩艰深的专有名词 而三言两语含糊交代，简直是念「揭谛揭谛，波罗揭谛」，全无用处。 啧啧～～虽巧妇亦难以为炊，何况孤陋笔拙如我.... 黑底白字，诸多难以克服的障碍，我的笨笔摇不出感慨的一万分之一二 不过既然有人再次提出疑义，我也只好怀着十五个七上八下的水桶，勉强为之了 想声明在先的是，在下见识、学养都很贫弱，只能硬着头皮去「强词夺理」 任何的非难都很欢迎，不过请先想想格於环境下所存在的难言之苦 ------------------ 1.Cesaro summability 的定义源自於 Cesaro Thm 给定两收敛级数 Σz_m及Σw_m， 则其Cauchy Product Σu_m（不一定要收敛） 必满足 Δ_1＋Δ_2＋.....＋Δ_m lim ------------------------- ＝（Σz_m）（Σw_m） m 其中Δ_m为Σu_m首m项的partial sum，尤其，若Σu_m收敛， 必使其收敛值Σu_m＝（Σz_m）（Σw_m） Cesaro Thm 说明了两级数的Cauchy Product虽然不一定收敛， 但却可以以一种「较弱型态」的收敛 我们定义这种 Cesaro Thm 的收敛方式为： Cesaro summable to （Σz_m）（Σw_m） (此证明可参阅任何一本级数论的专书，例如：Hardy 、Knopp...etc. ) 这其实是 Abel 的结果，换言之，两收敛级数 Σz_m及Σw_m 其Cauchy Product 亦将Abel可和到（Σz_m）（Σw_m） （即使Cauchy Product发散了） (这证明使用Abel limit Thm，并不怎麽困难，不过也请参阅专书) 这清楚说明了，Abel summable 是一种「较弱型态」的收敛 由此，我们的确可以看出两者的关连性，一般高微课本对发散级数探讨着墨极少 即使如Apostol者，对Cesaro summability也仅是草草几句带过 因而学生很难对Cesaro的本末来由具备任何了解 2.上文所提的「弱收敛」，当然不是指weak convergence，而是「较弱型态的收敛」 这主题很有强、弱比较的味道（无论是条件、结果）， 狭义或是广义收敛显然存在文字上的缺陷 而拉哩拉匝的罗唆又非我所好（如：在某意义下的summability、较弱型态的收敛...） 这是我自己的怠忽苟且铺成了误解的道路，算不上什麽冤枉 3.「Cesaro summability 必然 Abel summability，反之不真」 在绍雄师所着理论分析初步，p.653 注名此定（系）理为 Frobenius 若是说今天有一位仁兄....嘴提Euler定理、Gauss定理， 天知道他讲的是哪一个？（挂名两位大师的定理多如牛毛） 窃以为重点是定理的内容，叫什麽名字倒不这麽重要 另外，这定理清楚的说明，两者以间以 Abel summability 为较弱型态的收敛 在接下来即将陈述的 Tauber（型）理论上，将具有直接有利的应用 4.中国智谋36计里的「围魏救赵」，在数学上的使用是屡见不鲜的.... 孙膑率齐军营救被魏军包围的邯单城，主将田忌试图帅兵直奔赵国，与魏军决一死战 这计画孙膑期期以为不可...曰： 「若要解开一个死结，不能用蛮力强拉硬扯，要解除重围亦然 需避其锐气，击其惰归。魏军倾其精锐去攻打赵国，国内已无重兵防守。 选择攻打魏国都成大梁，魏军将立即停止包围邯单，班师回朝， 长途疾行之军，想必筋疲力尽，我等以逸待劳可一举得胜」 这招「围魏救赵」说穿了就是「避实就虚」的伎俩.... OK～～～该是回头看看数学了，听听 Tauber 定理怎麽说： 若级数Σa_m＝S （A），且 lim(m‧a_m)＝0 成立（此即Tauber条件） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 则原级数 Σa_m「狭义收敛」，且 Σa_m＝S ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 无论是过去或现在，将无穷级数「直接求和」始终是极难的课题 Abel求和法若是存在可行性，仅需加上Tauber条件成立， 一切不能也、不为也的困难问题便告迎刃而解， 这不正是36计里避其锐气「围魏救赵」的最佳代言吗？ 孙子曰：「夫兵形象水，.....水常无形，能『变』敌而化取胜者，谓之神！」 Tauber在提出并证明了定理後，一连串数学大师纷纷因势利导，群起效尤 如Hardy、Littlewood、Landau、Winener...等 （将Tauber定理推广或是减弱条件） 这一类的结果的汇集便是为 Tauber （型）定理 举例如：Hardy- Littlewood的 Tauber （型）定理 若级数Σa_m＝S （A），且{m‧a_m}有界， 则原级数 Σa_m「狭义收敛」，且 Σa_m＝S 另外，Abel倒还不是最常用的可和法，回头看看本文第三项（Frobenius） Ceasro summability 必然 Abel summability ，此外还有Toeplitz summability亦然 (Ceasro为Toeplitz求和法的特例，还有一大堆我讲不出名字的求和法....) 因而Cesaro等求和法顺势具备了Tauber（型）定理的良好结果.... 总地说：我们以Abel limit Thm 的方式来讨论某些本来发散的级数， 给予他们一种「和」的概念 设法把这些发散级数规则化(regularization) ， 从而对发散级数有一种讨论「发散程度」的概念 这便是此类级数求和法的精要，另外重要的一点是，什麽时候原级数收敛？ 这一类的结果便称为 Tauber（型）定理， 因而，发散级数（在XXX下可和性）的研究可能在某些场合下较收敛级数更为重要！ 数学的本质寓於演绎，既定的公设或定义都有他存在的价值， Abel (Ceasro) summability 定义亦然，他不是无的放矢，更不是天上掉下来的礼物 当我们深感纳闷，很可能是因为我们见识的短浅所致 --- Σ（-1）^n 不就发散吗？ 是的，他发散，不能代数四则，亦不能rearrangement （详见我回复本系列文的第一篇） 但是我们还是可以探讨他，这可能是为了更高境界的理由......... --- 先前存有对於发散级数「求和」研究价值的怀疑 （这些求和法 almsot nonsense嘛～～） 若这篇肤浅孤陋的短文， 对极少数人（不敢奢望）能有「以管窥天」、「点到为止」的效应，则吾愿足矣.... 在数学的战场上我早已阵亡，只是琴剑犹存，弃之可惜.... 值此，残存的体力与精神都已到达一个极致，眼耳鼻口已不听使唤 西方人说：「Hell is paved with good intensions」 幸好....公海到了 -- http://www.wretch.cc/album/yonex119 耶～～\O/..我也有相簿了，新手上路中 --

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