作者hcy1 ()
看板BoardGame
标题Re: [闲聊] SET
时间Fri Aug 27 04:19:11 2010
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原始问题是： 「最多可以凑出几张牌，在里面完全找不出SET。」
以下是我在网路上找到的解答。
网址：
http://www.setgame.com/set/noset.htm
或许有人不想看英文，我试着翻译成中文，
由於有图且页数较多，以固定页面位置方式，方便大家阅读。
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======= Page 2 =======
处理复杂的问题前，通常会先把问题简化
因此我们先只观察一张牌的两种特性：
形状 (弯曲形、菱形、楕圆形) 与 数量(1、2、3)
如此，我们可以使用一个3x3的矩阵，来标示出每一张牌
１ ２ ３
┌─┬─┬─┐
弯 │●│ │ │
├─┼─┼─┤
菱 │ │ │ │
├─┼─┼─┤
圆 │ │ │ │
└─┴─┴─┘
举例来说，在上图中，这个圆点代表的牌：1个弯曲形。
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利用这个矩阵，我们可以观察出3张牌是否形成一个SET：
只要在矩阵上连成一条线 (直、横、斜 皆可)，即代表这3张牌是一个SET。
１ ２ ３
┌─┬─┬─┐
弯 │●│ │ │
├─┼─┼─┤
菱 │●│ │ │
├─┼─┼─┤
圆 │●│ │ │
└─┴─┴─┘
举例来说，在上图中，3张牌的图形数量相同、形状不同。
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======= Page 4 =======
同样的，在下面的三个图中，由於都连成一线，因此也都是一种SET。
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３
┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
弯 │ │ │●│ 弯 │ │ │ │ 弯 │ │●│ │
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │ │●│ │ 菱 │ │ │ │ 菱 │ │ │●│
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圆 │●│ │ │ 圆 │●│●│●│ 圆 │●│ │ │
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
左：数量不同、形状不同。 中：数量不同、形状相同。 右：数量不同、形状不同。
需特别注意最右边的图，直观看起来虽然不是一直线，但是把１这一直列移到最右边，
还是一个直线。 (把矩阵想成左右两端会绕回来接在一起)
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在只有形状与数量两种特性下，最多可以找到几张牌，而不会在当中形成SET呢？
利用这个矩阵，我们便可以找到答案。
１ ２ ３
┌─┬─┬─┐
弯 │●│ │●│
├─┼─┼─┤
菱 │ │ │ │
├─┼─┼─┤
圆 │●│ │●│
└─┴─┴─┘
如上图所示，最多可以标示4个点，而仍然不会构成连线。
意即若只有两种特性，可以找得出4张牌而不会形成SET。
若是加入第5张，则必定会有SET存在。
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现在我们再加入第三种特性： 填满状态 (实心、空心、斜线)
由於有了第三种特性，所以需要有3个3x3的矩阵。
而要观察连线，可以把这3个3x3的矩阵想像成是叠在一起的，也就是3D版的井字游戏。
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３
┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
弯 │●│ │●│ 弯 │ │○│ │ 弯 │ │ │ │
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │ │ │ │ 菱 │○│ │○│ 菱 │ │◎│ │
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圆 │●│ │●│ 圆 │ │○│ │ 圆 │ │ │ │
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
实心 空心 斜线
如上图所示，在这个3层的3x3矩阵中，
我们最多可以标示出9个点，而仍然不会形成任何连线。
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最後，我们再放入第四种特性： 颜色 (红、绿、紫)。
现在是立体版的井字游戏，再加上第四维度 - 时间轴。
或着也可以想像成往两种方向交叠的立体版井字游戏。
我们总共需要 3x3 个 3x3 的矩阵来标示81张牌。
在当中最多可以标示出几个点，而不会构成连线呢？ (不会形成SET)
答案是：
20。 (若抽出21张牌，则当中100%会存在SET)
完整图示见下页。
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１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３
┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
弯 │●│ │●│ 弯 │ │○│ │ 弯 │ │ │ │
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │ │ │ │ 菱 │○│ │○│ 菱 │ │◎│ │ 红
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圆 │●│ │●│ 圆 │ │○│ │ 圆 │ │ │ │
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
弯 │ │●│ │ 弯 │○│ │○│ 弯 │ │ │ │
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │●│ │●│ 菱 │ │ │ │ 菱 │ │◎│ │ 绿
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圆 │ │●│ │ 圆 │○│ │○│ 圆 │ │ │ │
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
弯 │ │ │ │ 弯 │ │ │ │ 弯 │ │ │ │
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
菱 │ │●│ │ 菱 │ │○│ │ 菱 │ │ │ │ 紫
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
圆 │ │ │ │ 圆 │ │ │ │ 圆 │ │ │ │
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
实心 空心 斜线
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======= End =======
思考这个问题的过程，其实满有趣的，也衍伸想了一些其他的问题。
不过这个原始题目的解答，对我来说还真的满困难的。
最後，附上BGG上面的一张图，就是完全找不出SET的20张牌。
http://www.boardgamegeek.com/image/421151/set
^LE
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