作者becomesonumb (猫太)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [工数]-ODE
时间Sun Sep 27 14:56:26 2009
※ 引述《wellilin (QQ123)》之铭言：
: y'={2(xy^1/2)-y}/x
: ans= y^1/2=x^1/2{1-(1/cx)}
: 解不出来 = =...帮帮忙
xy'+y=2(xy)^(1/2)
除以x得到
1
y'+---y = 2x^(-1/2)y^(1/2)
x
就变成了Bernoulli方程式
1 1
令z=y^(1- ---) =y^(---)
2 2
1
则 z'= ---y(-1/2)y' 得到y'=2y^(1/2)z'
2
带回後来的Bernoulli方程式
得到
1
2y^(1/2)z'+---y = 2x^(-1/2)y^(1/2)
x
同时除以 y^(1/2)并且让z'前面没有系数
得到
1 1
z'+ --- --- z = x^(-1/2)
2 x
成为了一阶线性ODE的样子,公式解下去
1 1
P(x)=--- --- Q(x)=x^(-1/2)
2 x
1 1
I(x)=exp∫--- ---dx = x^(1/2)
2 x
1
z(x)= ---[∫IQdx] = x^(-1/2)[∫x^(1/2)x^(-1/2)dx]
I
= x^(-1/2)[∫1dx]
= x^(-1/2)(x+c)
= x^(1/2) + cx^(-1/2)
把z(x)=y^(1/2)代回得到
y^(1/2) = x^(1/2) + cx^(-1/2)
答案差在常数c而已
所以我这样应该也是对的吧 ?!
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老师：小时候我对老师骂脏话，老师原谅了我，我觉得很开心
同学Ａ：老师我可以骂你吗？我忍很久了
http://www.wretch.cc/blog/becomesonumb
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◆ From: 122.100.107.74
1F：推 hsuan0425:我算结果跟你一样 09/27 14:58
2F：→ becomesonumb:不过yimao的解法还蛮快的说 09/27 15:01
3F：推 yimao:献丑了...其实我一开始是想到齐次..但是算到卡住了..哈哈= = 09/27 15:02
4F：推 hsuan0425:y大那个算法蛮简单的 没注意到 哈哈 09/27 15:05
5F：推 hihaka2001:那招式grouping method 本来就会比较快 09/27 15:28
6F：推 sean456:合并法这题比较快 可是未必全部都会比较快 09/27 15:31