作者iyenn (晓风)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [工数]-一阶ODE
时间Sun Oct 11 22:27:16 2009
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之铭言：
: 3 2 2
: (x y - 1)dx + x dy = 0
: 题目看起来短短的
: 可是我试过很多方法都解不太出来 QQ
: 这个 ODE 是我在算一个东西的时候化简得到的
: 所以手边没答案
: 麻烦大家了 > <
3 2 2
(x y - 1)dx + x dy = 0
y'=-xy^2+x^-2
let y=p'/(px)
y'=p''(xp)^-1 - p'^2p^-2x^-1 - p'p^-1x^-2
=-p'^2p^-2x^-1+x^-2
=>p''-p'x^-1=x^-1p
=>x^2p''-xp'-xp=0
let t=x^1/2
dp dp dt 1 dp
--= --- ---=---x^-(1/2)----
dx dt dx 2 dt
d^2p -x^-(3/2) dp x^-1 d^2p
----=---------- ---- + ------ ----
dx^2 4 dt 4 dt^2
=>
-t dp t^2 d^2p t dp
---- ---- + ------ ---- - --- --- -t^2p =0
4 dt 4 dt^2 2 dt
d^2p dp
t^2---- - 3t---- -4t^2p=0
dt^2 dt
let p=vt^2
p`=v`t^2+2tv
p``=v``t^2+4tv`+2v
t^2(v``t^2+4tv`+2v)-3t(v`t^2+2tv)-4t^2(vt^2)=0
t^2v``+(4t-3t)(v`)-(6-2+4t^2)v=0
t^2v``+tv`-(4t^2+4)v=0 , modified bessel eq.
v=AI (2t)+BK (2t)
2 2
p=x(AI (2x^1/2)+BK (2x^1/2))
2 2
y=p'/(px)
我算不下去了orz........
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为者常成.行者常至
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◆ From: 123.193.214.165
1F：推 CRAZYAWIND:我看到一半头就晕了= = 10/11 22:31
2F：推 shinyhaung:哈哈 我也是想到2阶ODE y不出现的型式 可是偷懒没算XD 10/11 22:32
3F：→ iyenn:原积分应该是用bessel的解去代换,在用积分式积,我猜0,0 10/11 22:34
4F：→ iyenn:不过要查一下母函数跟原积分有无同之处才知道..-,- 10/11 22:35
5F：推 fonlintw0621:请问 为什麽 y 要这样令.. 10/11 22:35
6F：→ fonlintw0621:没算过 昇阶..... 10/11 22:36
8F：推 fonlintw0621:恩感谢..原来是 另一种解法.... 10/11 22:41
9F：推 doom8199:那个 ODE 我正是由2阶ODE降到 1阶Ricaati eq. = =a 10/11 22:44
10F：→ iyenn:XDD 10/11 22:44
11F：→ iyenn:doom大不早说-,-" 10/11 22:45
12F：→ doom8199:因为我没有背 Bessel 那些无穷级数 QQ , 所以才这样转 10/11 22:47
13F：→ iyenn:我也没背-,-y 10/11 22:48
14F：→ wade0222:原来这题这麽难= = 10/11 22:49
15F：推 doom8199:还是能帮我解一下 xp''-p'-p=0 with p(0)=p'(0)=0 10/11 22:50
16F：→ doom8199:有加初始条件QQ ， 当初转的时候是变成此型态 10/11 22:51
17F：→ iyenn:这可以化bessel吧 10/11 22:53
18F：→ iyenn:过上面有解到这部份,在带初值看看XD 10/11 22:54
19F：→ doom8199:看来改天要找时间念一下ode无穷级数解,完全不熟 OTZ 10/11 22:57
20F：→ iyenn:大家都不熟:) 10/11 23:12