※ 引述《msu (do my best)》之铭言： : 感谢先前高手的回答 : 另外也是解答不懂@@ : 题目是 : Evaluate the following integral: : ∞ x-sinx : ∫ -------------- dx , a>0 : -∞ x^3(x^2+a^2) : z^2 + zi+1 -e^(iz) : ...他的解答第一步就令 F(z)=--------------------- : z^3*(z^3+a^2) ^^^ 　　　　　　　　　　　　　　　　　打错了，是 z^2 : 在上半平面具有z=ai的一阶pole,在实轴上具有z=0的一阶pole : 请问高手 他的F(z)为何要那样令? : 感谢^^ ---- 解答的令法蛮神的 因为若照原型态假设 　　pole z=0 会是 order=3 这样最後再求 residues 时 Res{f(z) , 0} 要求 z^3*f(z) 的二阶微分 但是若照解答那种假设 　　z=0 会变成 order=1 就可以避免要求 z^3*f(z) 的二阶微分 计算量可以大幅降低 ------------------------------------------------------------------------------ <1> 正常求法: 考虑定积分: iz - e^(iz) ∮ ____________ dz with pole z=0 for order=3 c z^3(z^2+a^2) z=ai、-ai for order=1 c: |z|=R 上半圆 用 |z|=δ 的上半圆 去包 z=0 当 R→∞ 可得到: δ→0 ∞ ix - e^(ix) ∫ ____________ dx = 2πi*Res{f(z),ai} + πi*Res{f(z),0} -∞ x^3(x^2+a^2) -a - e^(-a) πi d^2 iz - e^(iz) = 2πi* ____________ + ___ * ____ ___________ | (ai)^3 * 2ai 2 dz^2 z^2+a^2 z→0 a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) = ______________________*πi 2a^4 　 ∞ -cosx 即 ┌ ∫ ____________ dx = 0 │ -∞ x^3(x^2+a^2) │ │ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) └ ∫ ____________ dx = ______________________ *π -∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4 ------------------------------------------------------------------------------ <2> 解答求法: 考虑定积分: z^2 + zi+1 -e^(iz) ∮ __________________ dz with pole z=0 for order=1 c z^3(z^2+a^2) z=ai、-ai for order=1 c: |z|=R 上半圆 用 |z|=δ 的上半圆 去包 z=0 当 R→∞ 可得到: δ→0 ∞ x^2 + xi+1 -e^(ix) ∫ __________________ dx -∞ x^3(x^2+a^2) = 2πi*Res{f(z),ai} + πi*Res{f(z),0} -a^2-a+1-e^(-a) z^2 + zi + 1 -e^(iz) = 2πi* ______________ + πi* ____________________ | (连用两次 L'Hos.) (ai)^3 * 2ai z^4 + a^2z^2 z→0 -a^2-a+1-e^(-a) 2 + e^(iz) = 2πi* _______________ + πi* ____________ | 2a^4 12z^2 + 2a^2 z→0 a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) = _______________________ *πi 2a^4 ∞ x^2 + 1 - cosx 即 ┌ ∫ ______________ dx = 0 │ -∞ x^3(x^2+a^2) │ │ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) └ ∫ ____________ dx = _______________________ *π -∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4 ------------------------------------------------------------------------------ 至於为何 pole z=0 会只剩下 order=1 原因是: z^2 + zi + 1 - e^(iz) = (z^2 + zi + 1) - (1 + iz - z^2/2 - iz^3/6 + ....) = z^2/2 - iz^3/6 + ... = z^2*[ 1/2 - iz/6 + ... ] 所以那样的假设方式 　　变成又多一个 zero 点 : z=0 且 order=2 刚好和分母的 3 order pole z=0 消掉两个 若有这个概念 　　其实你也可以刻意制造分子有 zero z=0 with order=3 也就是你也可以假设成: z^3 - z^2/2 + iz + 1 - e^(iz) f(z) = _____________________________ z^3(z^2 + a^2) 变成 f(z) 的 pole z=0 "被 removed 掉了" ∞ 所以 ∫ f(x) dx = 2πi*Res{f(z) , ai} -∞ -ia^3 + a^2/2 - a + 1 - e^(-a) = 2πi * _____________________________ 2a^4 [ a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) ] - i*(2a^3) = _____________________________________ *πi 2a^4 ∞ x^3 - x^2/2 + 1 - cosx π 即 ┌ ∫ ______________________ dx = ___ │ -∞ x^3(x^2+a^2) a │ │ ∞ x - sinx a^2 - 2a + 2 - 2e^(-a) └ ∫ ____________ dx = _______________________ *π -∞ x^3(x^2+a^2) 2a^4 --

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