作者iyenn (晓风)
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标题Re: [理工] [线代]-线性映射
时间Tue Nov 3 10:04:46 2009
※ 引述《CCZR (阿翔)》之铭言：
: 1.Let a be a basis for a finite dimensional vector space V and
: T(a)={T(v),v属於a} If T is a linear operator on V then T is
: onto if T(a) is a basis for V.
: 答案是true 但是他只有说他是onto没说是one to one? 怎麽确定
: 他映射出来的会是基底?
: 2.两个方阵A B
: rank(AB)=rank(A) if and only if B是非奇异
: 有办法证明吗? 解答都只举反例
1.
T:V->V
if T is onto ->rank(T)=dim(V)
->N(T)=0
->It's one-to-one
2.
(1)rank(AB)=rank(A)
<=min{rank(A),rank(B)}
只能知道rank(B)>rank(A)
并不能保证B是full rank
(2)if B is full rank
rank(A)
=rank(ABB^-1)
<=min(rank(AB),rank(B^-1))
<=rank(AB)
rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))
<=rank(A)
Rank(AB)<=rank(A) ...(1)
Rank(AB)=>rank(A) ...(2)
=>Rank(AB)=Rank(A)
所以这是 B is full rank =>rank(AB)=rank(A)
但是推不回来,所以不是if and only if
反例也算证明的一种,因为要否定它是对的.只要能找一个错的case就行了.
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为者常成.行者常至
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◆ From: 123.193.214.165
※ 编辑: iyenn 来自: 123.193.214.165 (11/03 10:07)
※ 编辑: iyenn 来自: 123.193.214.165 (11/03 17:12)
1F：推 hayouj2000:请问第一题N(T)=0 -> It's one-to-to 11/04 02:07
2F：→ hayouj2000:是因为N(T)=0 代表T可逆 也就是反函代表在值域的数都可 11/04 02:08
3F：→ hayouj2000:对回来吗 还是有其他的观念 11/04 02:09
4F：推 chenbojyh:N(T)=0 就是 one-to-to 但 N(T)=0 并不代表T可逆 11/04 10:35
5F：→ chenbojyh:要one-to-one 且 onto 才T才是可逆的 11/04 10:36
6F：推 hayouj2000:N(T)=0<=>T:nonsingular T不就可逆吗?? 11/04 10:42
7F：推 bennylu:n*n时, nonsingular才等价invertible 11/04 16:21
8F：推 hayouj2000:所以因为Linear operator T为方阵 可逆? 11/04 17:28