我终於知道 δ(x) 的奥义 QQ 刚刚上网查了一下 Math World : http://mathworld.wolfram.com/DeltaSequence.html 原来只要满足以下性质 　　都可以定义成 δ(x): A delta sequence is a sequence of strongly peaked functions for which ∞ lim ∫ δ_n(x) *f(x) dx = f(0) n→∞ -∞ Define δ(x) ≡ lim δ_n(x) n→∞ 也就是 ∞ 　　工程上所学的 ∫ δ(x)f(x) dx = f(0) -∞ 把它当成定义比较正确 　　至於 δ(x) = ┌ 0 if x≠0 　　　　　　　　　 └ 发散 if x=0 则算是 δ_n(x) 里的其中一个 case ---- 例如考虑 δ_n(x) = ┌ n if 0≦x＜1/n 　　　　　　　　　　　　 └ 0 otherwise ∞ 则 lim ∫ δ_n(x)*f(x) dx n→∞ -∞ 1/n = lim ∫ nf(x) dx n→∞ 0 = lim n[ F(1/n) - F(0) ] by Fundamental Theorem of Calculus part 2 n→∞ where f(x) = F'(x) F(n) - F(0) = lim ___________ n→0+ n = F'(0) = f(0) 而且此 case 的 lim δ_n(x) = lim n*[u(x) - u(x - 1/n)] n→∞ n→∞ u(x) - u(x-n) = lim _____________ n→0+ n = u'(x) 所以 δ(x) ≡ lim δ_n(x) = u'(x) n→∞ 是这样来的 但对不同的 δ_n(x) 其相对应的 δ(x) 不一定会等於 u'(x) 　 也就是说 　 我们要把 δ(x) 看成是 "函数的集合" 而非 "函数" 我碰到的每位教授 　 都是灌输 δ(x)=0 if x≠0 给我们QQ 其实那只是 " δ(x) 集合里的某个函数才满足此性质" ------------------------------------------------------------------------------ 举一个例子: ∞ -iwt ∞ ∫ e dt = 2∫ cos(wt) dt -∞ 0 n = lim 2∫ cos(wt) dt n→∞ 0 2*sin(wn) = lim _________ n→∞ w sin(nw) = lim 2π*δ_n(w) for δ_n(w) = _______ n→∞ πw = 2πδ(w) 要证明 δ_n(w) 的性质是否是对的 　　就套原始定义: ∞ lim ∫ δ_n(x)*f(x) dx n→∞ -∞ ∞ sin(nx) = lim ∫ _______*f(x) dx n→∞ -∞ πx ∞ sin(nx) = lim ∫ _______ [f(x) + f(-x)] dx n→∞ 0 πx ∞ sin(nx) ∞ -xt = lim ∫ _______ [f(x) + f(-x)] * [∫ e dt] dx n→∞ 0 π 0 ∞ ∞ 1 -xt = lim ∫ ∫ ___ [f(x) + f(-x)] * sin(nx) *e dx dt n→∞ 0 0 π ∞ n*2f(0) = lim ∫ _____________ + ... dt n→∞ 0 π(n^2 + t^2) ( 用部分积分法算出来的，不过後面的积分不会算　＝＝ 　　　　　所以用 ... 表示 QQ , 会证的人帮忙补一下XD ) 2f(0) -1 t→∞ = lim _____ * tan (t/n) ｜ + ... n→∞ π t=0 = f(0) + ... ( 很明显後面的 ... = 0 XDDD ) ------------------------------------------------------------------------------ 因此 　　不需要 Fourier Transform 或是 inverse FT 的公式 　　就可以直接算那种怪积分了 　　当然先决条件是 δ_n(x) 的型态要背的够多 　　不然每次算到最後都还要证明一次 OTZ 我上次问的那个鸟极限 　　应该也能用这个定义去证明出来～～ 　　而且前面那个证明 　　需要用到 " f(x) bound 在指数函数order级下 " 才行 　　这正好符合　LT 或是 FT 转换时的存在性条件 --

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