※ 引述《alex2014 (绿影)》之铭言： : 这是政大财政所的统计考题,虽说是统计, : 但是需运用到积分,题目如下: : f(x) = (√2/√π)*exp{-x^2/2} 0 < X <∞ : 要求Var(X) : 但是我不太会积 E(X^2) , 运用变数变换时 ,对於哑变数的更动不熟悉 : 恳请高手们帮忙! 小弟在此先谢过! : 感激不敬! 其实推文的大大提示很多了.. 我只是帮忙算出来 ∞ α-1 -w 先介绍 gamma function : Γ(α) ≡ ∫ w e dw 0 一些等等可能会用到的性质： Γ(α) = (α-1)Γ(α-1) < 分部积分可以得到 > Γ(n)=(n-1)! , n为正整数 < 套用上面的性质 > Γ(1/2) = √π < 转极座标可以得到= = > α ∞ α-1 -λy 令 w=λy 可以得到 : Γ(α) / λ = ∫ y e dy 0 这个积分在统计中很有用.. 等等应该会用到这个积分... -----------------------题外话------------------------------------- ∞ α α-1 -λy 其实可以看出 ∫ [λ /Γ(α)] y e dy = 1 0 α α-1 -λy f(y) = [λ /Γ(α)] y e ; y>0 就是 gamma 分配的 pdf .. ------------------------------------------------------------------- 那我们就来计算 Var(X) ... 2 ∞ -x /2 E(X) = ∫ x * √(2/π) * e dx 0 2 看得出来指数上面的平方有点讨厌.. 所以我们令 y= x /2 → dy = xdx , x= √(2y) , dx = 1/√(2y) dy ∞ -y E(X) = √(2/π) ∫ √(2y) * e * 1/√(2y) dy 0 ∞ -y = √(2/π) ∫ e dy 0 = √(2/π) ∞ -y ∞ 1-1 -1*y 1 其实 ∫ e dy 可以看成 ∫ y e dy = Γ(1)/1 = 0! = 1 啦.. 0 0 但这个积分太好算了..用gamma的性质真的是拿牛刀 = = 2 2 ∞ 2 -x /2 2 E(X ) = √(2/π) ∫ x * √(2/π) * e dx < 一样令 y= x /2 > 0 ∞ -y = √(2/π) ∫ 2y * e * 1/√(2y) dy 0 ∞ 3/2 -1 -1*y = 2/(√π) ∫ y e dy 0 3/2 = 2/(√π) * Γ(3/2) / 1 = 2/(√π) * (1/2) * Γ(1/2) = 1/(√π) * (√π) = 1 2 2 Var(X) = E(X ) - [E(X)] = 1 - π/2 其实这题..好像感觉不出来gamma有多好用...XDD 我想主要是因为λ=1吧.. (逃~) --

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