※ 引述《Nowitzness (Nowitzness)》之铭言： : : 2. < 周易工数2-2第六题 > : : consider the following initial value problem : : d^2 x + 2 dx + x : : ____ ____ = 0 x(0) = 1 ; x'(0) = c : : dt^2 dt : : where c is a parameter . find the range of c within which all solution : : of the given initial value problem are non-negtive ,that is , determine : : all possible values of c which yield x(t) > 0 for t > 0 : : = = : : 答案是 : c > -1 : : 这题大意上就是要找 c 的范围 使得ODE中的 x(t) 恒大於等於 0 ( 当 t 大於等於0 ) : : 不过我算了很多次 还是不太对 不知怎麽解才对 ? : x=c1*e^-t + c2*t*e^-t : 代入x(0)=1 得c1=1 : 代入x'(0)=c 得c2=1+c : x=e^-t + (1+c)*t*e^-t : =[(1+c)t+1]e^-t : 因为e^-t>0 : 要满足条件则 : (1)[(1+c)t+1]为正 : (2)t=0代入为正 : 为满足(1) → 斜率≧0 : 故c>-1 : 当t=0代入 [(1+c)t+1]e^-t 验证 : ∴c>-1为解 : (我怎麽觉得=-1也可以阿? 是不是哪漏掉了?有请高手解答!) 今天刚好算到这题 我的算法是 通解为 x(t) = [(1+c)t+1]e^-t x(t) ≧0 也就是 (1+c)t+1 ≧ 0 (1+c)t ≧ -1 -1 1+c ≧ ----- t -1 c ≧ ----- - 1 t 因为t≧0 故c≧-1 但是如果把c=-1这个值代回C2 得C2 = 0 x(t) = e^-t 重根项会消失只得一个解 与原题目为2阶ODE不合 故c > -1为解 --

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