作者ntust661 (661)
看板Grad-ProbAsk
标题[提供] [动力学] 链条滑下速率υ的正解。
时间Thu Dec 10 17:52:03 2009
因为之前在板上PO过，这题还蛮经典的。
我终於找到方法了，所以PO上来分享罗!
├─ L - b ─┤
│ │
│ │
ΘΘΘΘΘΘΘΘΘ ＿＿
Φ
Φ b
Φ
Φ＿＿
首先这是个不稳定平衡 ( Unstable Equilibrium )
轻微的扰动，就会让物体开始运动。
就跟解微分方程一样，要有初始值才行。他给了 b 这个东西
我们就要先开始解 b
--
条件
链条密度 ρ
落下链条长 b
摩擦系数 μ
链条张力 T
重力加速度 g
--
首先在平衡下
垂下来的
Σ F = 0 ， T - m g = 0
y 1
T - ρbg = 0
躺在上面的
Σ F = 0 ， T - μN = 0
x
T - μm g = 0
2
T - μρ(L-b)g = 0
┌─ T - μρ(L-b)g = 0
│
联立 ──┤
│
└─ T - ρb g = 0
μρ(L-b)g = ρb g
μ(L-b) = b
μL
μL - μb = b ， b = ────
1 + μ
然後这时候加入微小扰动，让落下链条长变成 b + Δb
开始设动力方程式
假设链条移动了 x 长 (当然要比 b 长一点)
ρx g - μρ(L-x)g = ρ L a
↓ ↓ ↓
m g μN Σm a
1
x g - μg(L-x) = L a
g
a = ── ( x (1 + μ) - μL )
L
L V
∫adx = ∫vdv
b 0
1 2 g 1 2 │L
── V = ── ( ──(1 + μ) x - μ(L)x )│
2 L 2 │b
g 1 2 2 1 2
= ── [(──(1 + μ)L - μL ) - [(──)(1 + μ)b - μLb] ]
L 2 2
g 1 2 1 2
= ── [──(-1 + μ)L - ──( 1 + μ)b + μLb]
L 2 2
带入 b
2 2 2
g 1 2 1 μ L L μ
= ── [──(-1 + μ)L - ──(───) + ──── L ]
L 2 2 1 + μ 1 + μ
2 2 2 2 2
1 g L - μ L μ L
= ── ── (───────── + ───── )
2 L 1 + μ 1 + μ
2
g L
= ──── (────)
2 L 1 + μ
2 g L
V = ─────
1 + μ
答案就出来哩@_@
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有需要的话我在打能量解(但应该只是差在 b 有没有写吧!?)
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.118.234.83
1F：推 youmehim:所以μ既是动摩擦系数 也是静摩擦系数罗 12/10 18:27
2F：→ youmehim:突然想到 假如是加微扰的话 当作链条已突破静摩擦也合理 12/10 18:30
3F：→ ntust661:对 12/10 18:50
4F：→ boy210637:有兴趣的话阿 去试试Lagrange eq.来解解看 12/10 21:06
5F：→ ntust661:楼上可以指引我一下嘛? 12/10 22:42
6F：推 squallting:lagrange解运动方程式爆快 12/10 22:48
7F：→ ntust661:可以分享吗QQ 12/10 22:49
8F：→ boy210637:建议你先去找书来看 自己先弄懂 这样对你以後动力学有很 12/10 22:52
9F：→ boy210637:大的帮助 12/10 22:52
10F：→ boy210637:这个已经算有点研究所的课程了 12/10 22:53
11F：→ boy210637:其实他对保守系统真的超快 但非保守系统真的就很复杂了 12/10 23:29
12F：推 qoodeva:推lagrange 12/11 01:32