作者zendla (夏夜薄荷)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [工数]-高阶ODE Euler cauchy方程
时间Thu Dec 10 19:00:14 2009
※ 引述《CRAZYAWIND (怒火烧不尽)》之铭言：
: 3 2 6x^3
: x y''' - 4x y'' + 8xy' - 8y = ──────── <<94中兴化工>>
: (x^2 + 1 )^3/2
: 这题yp项= = 我算了好久 用部份分式 或是重积分法 加上 三角代换
: 都展不回他给的答案 3 5
: 2 4 2x + 4x + 2x
: y(x) = c1x + c2x + c3x - ─────────
: √(1+x^2)
sol:
t
令 x = e ,t = lnx
2 3 d
xy'=dy , xy"=D(D-1)y , x y"'=D(D-1)(D-2) ,其中 D= ──
dt
带回原式可得
6x^3
D(D-1)(D-2)y-4D(D-1)y+8Dy-8 = ──────
(x^2+1)^3/2
3t
3 2 6e
即[D -7D +14D-8]y = ──────
(e^2t+1)^3/2
(1) mt mt 2 2 mt 3 3 mt
令y=e , Dy=me , D y=m e ,D y=m e 代入ODE中可得特性方程式
3 2
m -7m +14m-8=0 m=1,2,4
t 2t 4t 2 4
yh=c1e + c2e +c3e =c1x + c2x + c3x
3t
(2) 1 6e
yp = ──────── ──────
(D-1)(D-4)(D-2) (e^2t+1)^3/2
t 1 1
= 6e ──────── ──────
(D-1)(D+1)(D+2) (e^2t+1)3/2
2t
3t 1 -2t e
= 6e ───── e ∫──────dt
(D-1)(D+1) (e^2t+1)3/2
2t 2t
3t 1 -2t e d(e + 1)
= 6e ───── e ∫────── ─────
(D-1)(D+1) (e^2t+1)3/2 2e^2t
3t 1 -2t 2t -1/2
= -6e ───── e (e + 1)
(D+1)(D-1)
3t 1 1 -2t 2t -1/2
= -3e [── - ──] e (e + 1)
D-1 D+1
3t 1 -2t 2t -1/2 3t 1 -2t 2t -1/2
= -3e ── e (e + 1) + 3e ── e (e + 1)
D-1 D+1
3t t -t -2t 2t -1/2 3t -t t -2t 2t -1/2
= -3e e ∫e e (e + 1) dt + 3e e ∫e e (e + 1) dt
-3t -t
4t e 2t e
= -3e ∫────── dt + 3e ∫────── dt
(1+e^2t)^1/2 (1+e^2t)^1/2 -t
^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ 上下同乘 e
-4t -2t
4t e 2t e -2t
= -3e ∫─────── dt + 3e ∫─────── dt 令1 + e = v
(1+e^-2t)^1/2 (1+e^-2t)^1/2
-2t
3 4t 1/2 -1/2 3 2t -1/2 -2e dt = dv
= ─ e ∫( v - v ) dv - ─ e ∫v dv
2 2
4t 3/2 1/2 2t 1/2
= e (v - 3v ) - 3e v
4t 3/2 4t 1/2 2t 1/2
= e (1+e^-2t) -3e (1+e^-2t) -3e (1+e^-2t)
-2t 4t -2t 4t 2t
(1+ e )[e (1+e )-3e -3e ]
= ───────────────
-2t 1/2
(1 + e )
-2 4 -2 4 2
(1+x )[x (1+x )-3x -3x ]
= ────────────── 上下同乘x
(1+x^-2)^1/2
-1 4 2 4 2
(x+x )[x + x -3x -3x ]
= ────────────
(1+x^2)^1/2
5 3 3
-2x -2x -2x -2x
= ─────────
(1+x^2)^1/2
3 5
2x + 4x + 2x
= - ───────
(1+x^2)^1/2
(3)
故ODE通解: 3 5
2 4 2x + 4x + 2x
y = yh + yp = c1x + c2x + c3x - ───────
(1+x^2)^1/2
小弟的拙见= =
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 134.208.40.34
※ 编辑: zendla 来自: 134.208.40.34 (12/10 19:05)
※ 编辑: zendla 来自: 134.208.40.34 (12/10 19:06)
※ 编辑: zendla 来自: 134.208.40.34 (12/10 19:09)
1F：→ ntust661:推' 12/10 19:23
2F：推 ntust661:逆运算子我记得尽量是不要用吧@0@ 12/10 19:32
3F：→ zendla:真的吗@@? 我觉得很好用的说，研考的时候会扣分吗? 12/10 19:37
4F：推 ntust661:嘿嘿嘿 12/10 19:38
5F：→ zendla:= = 12/10 19:38
6F：→ boy210637:我是拿来当验算用啦 其实正常来说是可以用的 12/10 20:43
7F：推 JaLunPa:周易老师 很推逆运算子!! 12/10 22:16
8F：→ boy210637:他是国立编译馆所编定大学用书里的单元 不过很多教授都 12/10 22:27
9F：→ boy210637:不推 12/10 22:28
10F：→ birdhackor:可以用 之所以教授不推是因为逆运算子对作研究没帮助 12/10 22:30
11F：→ birdhackor:研究上 参数变换法是最好用的 但考试的时候逆运算子是 12/10 22:30
12F：→ birdhackor:很好用的 就算是研究上 有时候R(x)介於简单与复杂中间 12/10 22:31
13F：→ birdhackor:也很好用 12/10 22:31
14F：→ zendla:那我就...观念弄清再搭配逆运算子(好像废话一样= =) 12/10 22:35
15F：→ comerjoy:拆成1/(D-1)-1/(D+1)後，下一步是怎样变出来的阿???? 12/11 03:20
※ 编辑: zendla 来自: 134.208.40.34 (12/11 15:51)
16F：→ zendla:打这个详解好累，终於知道高手们的辛劳了= =" 12/11 15:52
17F：→ comerjoy:喔~我懂了，3Q!你好厉害 12/12 03:16