作者YoursEver (银英传出webgame!?)
看板MATLAB
标题Re: [问题] 找垂直向量
时间Sat Jul 20 08:18:38 2013
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之铭言：
: <2>
: 考虑一 13x8 矩阵 B, 使得 (B')B = [0]
: 这时 f(M) 可改写成
: = (A')A + (B')B
: = (N')N , 其中 N = [A' | B']' 为 21 by 8 matrix
:
这部份我觉得怪怪的.
B'B = 0;
换言之
[ b_1'] [ ]
[ b_2'] * [ b_1, b_2, ..., b_m ] = [0], 其中 b_i是B的column vector
[ : ] [ ]
[ b_m'] [ ]
这个假设的问题在於 |b_i|=0,
因此b_i必然是零向量; B也必然是零矩阵.
(我没有仔细检查後面,
但这句话看起来不是"考虑一13x8矩阵B, such that..."的问题了,
因为这条件下,没得考虑...,只有零矩阵才满足需求.)
:=========================
:
: ┌ I_7 3(e_7) ┐
: 令 g(M,k) = │ │
: └ 3(e_7') k ┘
: 真的去计算它的 eigenvalue
: 会满足 (1-λ)^6 * [λ^2 - (1+k)λ + k-63] = 0
: 若要求 g 是半正定, 唯有当 (1+k) >= 0 && (k-63) >=0
要考量这个问题,
我们应该要从"什麽条件下有解来看",
doom的结论是: 至少得是63维的向量,才能找到满足条件的一组解.
我觉得,有另外一个考虑方向,
去考虑:"该hyperplane应该距离原点有多近,
和unit ball的交点才足够复杂到能产生满足条件的一组解?"
也就是给定法向量n时,
平面 <x, n> = d 的d应该有多小?
所以相当於是把 g(M,k) 做一些代换,
3 用d代替, k用d*m代替; m则代表向量维度
这时候就能求出d的有效范围.
因为在"印象"中,
若hyperplane和unit ball交得太浅,则原po的问题似乎会无解.
doom老大写下的东西,会是个很好的思考方向.
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.27.127
1F：推 doom8199:<1> 当初打太快，後来有在推文叙述 B的取法不行, 07/21 12:48
2F：→ doom8199: 要改用 [B1|B2] 型态来取，但因为要解联立有点复杂 07/21 12:49
3F：→ doom8199: 要打的东西有点多，後来就没修正了 07/21 12:50
4F：→ doom8199:<2> 我算了一下，若 entry 总和 = d, 维度 = dim 07/21 12:52
5F：→ doom8199: 则 dim >= 7*d^2 才有解 07/21 12:52
6F：→ snaredrum:窃以为只要不是相切，应该就有解吧..我以三维来想~ 07/22 11:16
7F：→ snaredrum:平面跟单位球的交集 如果不是相切(刚好依点) 07/22 11:17
8F：→ snaredrum:那应该都是个等价二维平面上的圆的集合~ 07/22 11:17
改错字...
※ 编辑: YoursEver 来自: 140.114.27.127 (07/22 11:43)
9F：推 doom8199:我觉得你还是得真的算过一次，高维度的东西，性质 07/22 13:06
10F：→ doom8199:蛮容易违背我们在低维度下的认知 07/22 13:06
11F：→ doom8199:要证明它，只要能确保所有的 eigenvalue >= 0 即可 07/22 13:09
12F：→ doom8199:根据解 eig 过程，列出一阶递回式，搭配上述 constrain 07/22 13:11
13F：→ doom8199:就能得到 dim >= 7*d^2 07/22 13:11