※ 引述《ib61632003 (北北)》之铭言： : 昨天有了一篇问均值定理的文章 : 但还是有些地方不懂 : google了一下MVT : 网路上有分成积分均值定理、微分均值定理 : 昨天有位大大说 : 在"某种假设底下" : 两个是等价的 : 我的疑问是 : 两个定理，从数学式，到几何意义 : 都不相同 : 为什麽会会等价? : 是从什麽角度去看? : 还是说均值定理根本分成两个定理 微分MVT和积分MVT? : 因为课本上证明的时候 如果引用MVT 他只会说 根据MVT... : 有时候下面引用的是微分MVT 有时候是积分MVT : 感谢各位大大替我解答><" : 这个问题困扰我很久了 当书本上提到了 MVT 时，那就得看书上在作什麽…较有善心的作者会写的很明白。这 一点其实你不用太困惑就是了…至於微分的 MVT 与积分的 MVT 为何我会在某种条件 之下说等价? 这是基於微积分基本定理：他将微分与积分的世界联系起来了。以现在 的意义来看，"平均指的是弱收敛 [这句话，看不懂就当作没这回事…]". 现在我们来看看为何 " 微分的 MVT 与积分的 MVT 为何在某种条件之下是等价? " 假设函数 f 有很好的性质，例 f' 存在且连续於 [a,b] (紧致区间). 给你两个式子， 你自行推敲，看不懂我们可以再讨论讨论… b (1) f(b) － f(a) ＝ ∫ f'(x) dx ＝ f'(c) (b － a). a x (2) Say F(x) ＝ ∫ f(t) dt, then a b ∫ f(t) dt ＝ F(b) － F(a) ＝ F'(c) (b － a) ＝ f(c) (b － a). a (1) 讲的是积分 MVT 推得微分 MVT （看其首尾). (2) 讲的是微分 MVT 推得积分 MVT （看其首尾). 在上述中你一定会用到微积分基本定理:换句话说微积分基本定理联系着积分与微分。 这是一个信念：微分可以做出来得，积分也可以作出来。反之亦然…当然这时候给予 的条件就得非常好才行。 举个例子吧: 微分世界 积分世界 【线性 Linearity】 【线性 Linearity】 (αf＋βg)'＝αf'＋βg' ∫αf(x)＋βg(x) dx ＝α∫f(x) dx＋β∫g(x)dx 【乘法规则 Rule of Multiplication】 【分部积分 Integration by parts】 (f‧g)'＝f'g ＋ gf' ∫ f(x) dg(x) ＝f(x)g(x)－∫g(x)df(x) 【链锁率 Chain Rule】 【变数变换 Change of Variable】 ( f( g(x) ) )'＝f'(g(x))‧g'(x) ∫ f( g(x) ) d(g(x)) ＝ ∫f( g(x) ) g'(x) dx ＝ ∫f(u) du -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. -- ※ 编辑: math1209 来自: 220.133.4.14 (01/07 16:11)