作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
标题Re: [微积] 一题级数敛散性的题目
时间Sat Jan 8 11:29:18 2011
※ 引述《liltwnboiz (TCL)》之铭言：
: Test for conditional and absolute convergence of
: ∞ (-1)^n
: Σ ───────, p＞0
: n=2 n^p + (-1)^n
: 小弟尝试用 Leibniz's Test 测试它是否收敛
: 再挂上绝对值去测它的absolute/conditional convergence
: 可是在第一步就遇到麻烦
: Leibniz Test 没办法保证对於任意 p > 0, 第n+1项一定小於等於第n项
: 请高手解救 感谢 ><
这题是很经典的陷阱题
虽然显然p>1 <=> 级数绝对收敛，但是0<p<=1时Leibniz test很诱人
却注定要失败
因为此时，序列{n^p}其实会越来越靠近，甚至相邻两项的差→0
到那时，分母(-1)^n的干扰就很大了
那怎麽办呢？
考虑 Sigma(n=2, 无限大) (-1)^n / [n^p - 1]
这个级数没有上述的问题，可用Leibniz test 证明收敛
而这两个级数的差，是正项级数
Sigma(k=1,无限大) 1/((2k)^p-1) - 1/ ((2k)^p+1)
=
Sigma(k=1,无限大) 2/[(2k)^p-1][(2k)^p+1]
和级数 Sigma 1/k^2p 比较为同敛散
发现在0<p<=1/2时发散, p>1/2时收敛。
0<p<=1/2时，原级数=收敛 + 发散 = 发散
p> 1/2 时，原级数=收敛 +收敛 = 收敛
结论：
p>1：绝对收敛、0<p<=1/2：发散、1/2<p<=1 条件收敛
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r=e^theta
即使有改变，我始终如一。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 61.62.110.205
1F：推 liltwnboiz :感谢 Orz >< 借转 01/08 13:45
2F：推 liltwnboiz :可是我算出来是2/((2k)^2p -1) ? >///< 01/08 14:18
3F：推 liltwnboiz :还是不行阿 01/08 14:38
4F：推 kennyli :Σ2/((2k)^2p -1)可以用∫1/(2x)^2p dx检验吧 01/08 15:25
5F：→ liltwnboiz :所以这样就会变成 p<1/2发散 1/2<p<1 条件收敛??? 01/08 15:35
※ 编辑: LimSinE 来自: 61.62.4.46 (01/08 16:44)