作者Babbage (骄傲体现於健忘)
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标题Re: [几何] 请问Riemann curvature的推导
时间Sat Jan 8 20:32:02 2011
※ 引述《kuromu (kuromu)》之铭言：
: Riemann curvature tensor 的两种求法
: 一种是从
: μ μ μ ν
: ▽ ▽ V - ▽ ▽ V = R V
: α β β α ναβ
: 另外一种是从
: parallel transport 一圈看变化
: 想请问一下 这两种方法的等价的原因是什麽
: 非常感谢<(_ _)>
首先要知道的观念是"曲率完全是来自於connection"
给一个(拓朴)流形上任意两点, 他们之间只会有拓朴上的关联,
在这两点上你可以各别定义切空间, 他们各自是一个向量空间,
这两个切空间一点关联都没有.
你可以在任两点的向量空间上指定一种对应关系, 也就是connection,
这样就使得微分成为可能. 因为微分就是一种比较,
我们想要比较:当两个向量场同时靠近一个点时, 他们的差异是多少.
[就像微积分里面, 当x趋近於a时, 我们想知道f(x)和f(a)差多少.
在微积分里面, f(x)和f(a)如果都是实数, 那麽两者之间的距离就可
以用实数的减法来测量. 在我们这里, 必须将一个向量(透过connection)
指定到另一个向量所在的向量空间中, 两向量的距离才能被测量.]
所谓平行移动, 就是指"把向量藉由connection拉回"的这个动作.
以下我们考虑黎曼流形与Levi-Civita connection.
也就是说在刚刚的流形上的每一点的切空间定义一个内积,
使其光滑地依赖於点的变化.
在这种情况下, 可以证明存在一种好的connection(称为LC),
使得平行移动之後向量长度和夹角被保持.
(夹角是指"被移动的向量"与"所沿着的测地线之切向量"之间的夹角.)
在双变数微积分中, 只要函数f(x,y)够好, 则偏微分顺序是可以交换的.
用平行移动所定义出来的微分, 是否也满足同样的性质呢?
答案是: 这和曲面本身有关(如果是像微积分中的xy-平面, 则可以交换.)
更精确地说, 交换微分之後会多一个差异项, 这一项和曲面的曲率有关.
回到你的问题,
从曲率的符号定义来看, 曲率是微分交换之後的差.
从平行移动来看, 先沿着哪一条线(trajectory of some coordinate
function)移动就是先对哪一个变数微分.
而绕一圈的意思是: 从出发点走到对顶点有两种走法, 代表不同微分顺序.
(想像从左下走到右上, 可以先往右再往上, 或者先往上再往右.)
考虑到方向性之後, 绕一圈就可以说是两种微分顺序的相减,
所以也就出现了曲率项.
ps. 你的曲率公式只有在\alpha和\beta的积分曲线是一组互相独立
的参数时才有效. 否则会出现另一项和Lie bracket[\alpha,\beta]
有关的项.(在一般的曲率定义中会看到)
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◆ From: 86.77.104.199
※ 编辑: Babbage 来自: 86.77.104.199 (01/08 20:37)
1F：推 Lindemann :推好文,不过我还是纳闷这算出来的曲率是什麽曲率? 01/08 23:23
2F：→ Lindemann :说实在的我当初一直在想这个式子的几何意义想不透>< 01/08 23:24
3F：→ Lindemann :为何曲率可用Lie bracket里面还有微分项来定义 01/08 23:25
4F：→ Lindemann :这样写其实虽然美多了,但是这个到底是什麽曲率? 01/08 23:26
5F：→ Lindemann :我还停留在高斯的时代,还有parallel transport>?< 01/08 23:27
"曲率为什麽要定义成这样"似乎不是很容易回答的问题,
除了先前的解释之外, 我也没有什麽更进一步的看法.
至於为什麽会有Lie bracket, 是因为切平面在有曲率之前(也就
是定义connection之前), 就已经会出现参数的依赖关系了.
(例如在定义黎曼度量之前, 就可以定义Lie bracket.)
Lie bracket测量两个向量本身的"独立性".
拿两个不独立的向量当作"计算微分交换的基底"时就不能确实说
"微分交换的差值全是曲率造成的", 因为有一部分是来自於基底
向量的交互作用(也就是Lie bracket).
你也可以回想一下李导数的定义, 把向量场用one parameter family
of diffeomorphisms(或者所谓的flow)来拉就可能会造成微分交换的
差异, 也就是李导数(或者说李bracket). 这是和曲面曲率无关的.
并且注意到, 如果你的flow是一组真正的参数(也就是diffeomorphic
to R^n), 那麽李导数就会是零.
6F：→ kuromu :我觉得感觉有点像对▽V 作线积分 然後用类似格林定理 01/09 04:41
7F：→ kuromu :变成像curl的东西作面积分? 还是完全没关系 我搞错了 01/09 04:42
8F：→ kuromu :? 01/09 04:43
我没想过这问题耶, 不知道有没有关联.
9F：推 WINDHEAD :如果我们要求 curvature 是tensor的话, 系数代进去 01/09 11:07
10F：→ WINDHEAD :式子自然会变出 Lie bracket 这项 01/09 11:08
11F：→ WINDHEAD :因为他算式的本质就是 衡量微分次序交换的结果 01/09 11:09
12F：推 WINDHEAD :至於格林定理,是有点像,不过这边比较机车的地方是, 01/09 11:11
13F：推 WINDHEAD :我们使用的平行座标向量场在每个点上的内积都不同 01/09 11:14
14F：推 WINDHEAD :所以积分的时候要注意这个XD 01/09 11:18
15F：推 kuromu :请问一下 为什麽对哪一条线平行移动就是先对哪一个 01/09 18:00
16F：→ kuromu :变数微分 01/09 18:01
因为 \nabla_X Y= lim (PY(h)-Y(0))/h, 其中P是沿着X方向的测地线上的平行移动,
他把Y(h)拉回Y(0)所在的切空间.
(在不同的书中, 这个式子可能被当作是定义 或者 定理.)
※ 编辑: Babbage 来自: 86.77.104.199 (01/09 22:49)
※ 编辑: Babbage 来自: 86.77.104.199 (01/09 23:02)
17F：→ Babbage :我常常会想错, 若有问题别客气, 大家一起讨论 01/09 23:05
18F：→ kuromu :那▽_α▽_β就是把▽_β延α方向拉回吗 01/09 23:38
19F：→ kuromu :但是绕一圈好像是平行移动V 请问微第二次是平行移动 01/09 23:39
20F：→ kuromu :▽_β V 吗 这样和移动V感觉有点不同 还是我弄错了 01/09 23:41
我想我写得不清楚害你混淆了.
V沿着X方向平行移动一次变成P_X V, P_X V不是微分, 也就是说, 不是▽_X V.
▽_X V 是 lim (P_X V(h)-V(0))/h.
所以接下来再沿着Y方向平行移动, 一样是把刚刚移动完的V继续移动出去,
得到(P_Y(P_X V)). 这边被P_Y移动的是"已经被P_X移动过的V", 也就是 "P_X V".
※ 编辑: Babbage 来自: 86.77.104.199 (01/10 22:30)
21F：→ kuromu :那▽_α▽_β V =lim [P_α▽_β V(h)-▽_β Y(0)]/h 01/10 23:39
22F：→ kuromu :吗? 还是我仍然弄错 01/10 23:40
23F：→ kuromu : -1 -1 01/11 00:13
24F：→ kuromu :请问为什麽(P_Y P_X P_Y P_X)V微分可得 01/11 00:13
25F：→ kuromu :(▽_X▽_Y - ▽_Y▽_X)V 01/11 00:13
26F：→ Babbage :我想是照定义写开就可以算出来, 但是我没算过 01/11 20:00
27F：→ Babbage :我也没看过哪本书上有算, 可能要自己算了, 呵呵 01/11 20:01