作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [机统] 书上的问题
时间Fri Jan 14 00:08:54 2011
※ 引述《ntask (ntask)》之铭言：
: 照题意来说 N 应当是随机的
: 然而如果就直观来说
: 当我们知道 m=n=90 s=81 时
: 是猜 N=100 比较合理 还是 猜 N=108 比较合理?
: 已知 m=n=90 的话 当 N=108 时 s=81 的机率
: 远大於 N=100 时 s=81 的机率
: 不管 N 的分布为何
: 所以当 m=n 时 用 m+2*(m-s) 也是一个可能的估计值
: 我不太晓得要怎样说明我的想法 回去再想想
: 我的意思只是想解释说为什麽我觉得 mn/s
: 不是一个很好的估计值
假设 N 是随机的, 并假设它是 Poisoon 分布, 均数为λ.
不采用 Bayesian 架构, 仍采用传统方法.
则 marginally, m-s, n-s 及 s 是相互独立 Poisson 变
量观测值,
m-s 来自 Poisson(λp(1-q))
n-s 来自 Poisson(λq(1-p))
s 来自 Poisson(λpq)
由於 m-s, n-s 与 s 相互独立, 因此很自然地,
用 m-s 估计 λp(1-q)
用 n-s 估计 λq(1-p)
用 s 估计 λpq
这些估计都是统计上所谓 MLE (maximum likelihood est.)
因此, 依 MLE 的不变性,
λp 用 m 估, λq 用 n 估, λpq 用 s 估
则
λ 的 MLE 是 mn/s.
所以, m=90, n=90, s=81 时, λ 的估计值是 100.
虽然 conditionally (given m,n,s) N≧99, 但有多大机
率 N>100? 令 N=N1+N2+N3+N4, 诸 Ni 相互独立.
乙找出 乙未找出
甲找出 N1 N2
甲未找出 N3 N4
现在 N1=s=81, N2=m-s=9, N3=n-s=9,
而 N1+N2+N3=m+n-s=99,
P[N>100|N1=81,N2=9,N3=9] = P[N4>1|N1=9,N2=9,N3=9]
= P[N4>1]
而 N4～Poisson(λ(1-p)(1-q)).
假设 p=0.9=q, 而 λ=100, 则 N4～Poisson(1), 故
P[N4>1] = 1-P[N4=0]-P[N4=1] = 1-2e^{-1} = 0.264
即: 若 λ=100 而 p=0.9=q, 则
在 given N1=s=81, N2=m-s=9, N3=n-s=9 条件下,
N=99 的条件机率是 0.368
N=100 条件机率也是 0.368
N>100 条件机率是 0.264
而 λ=108, p=90/108=0.8333=q 时,
P[N1=81, N2=9, N3=9] = 0.0000368
当然这机率很小是合理的, 我们拿λ=100的假设来比较:
λ=100 而 p=0.9=q 则
P[N1=81, N2=9, N3=9] = 0.000769
是 λ=108 时的20倍多一点. 也就是λ=100的likelihood
是λ=108时的20倍.
以下是 likelihood 计算:
λ p q P[N1=81] P[N2=9] P[N3=9] likelihood
99 0.9091 0.9091 0.044099955 0.126638832 0.126638832 0.000707248
100 0.9 0.9 0.04428134 0.13175564 0.13175564 0.000768704
101 0.8911 0.8911 0.044104718 0.127384164 0.127384164 0.000715675
102 0.8824 0.8824 0.043588173 0.116208276 0.116208276 0.000588631
103 0.8738 0.8738 0.042756605 0.101187462 0.101187462 0.000437781
105 0.8571 0.8571 0.040273872 0.068984417 0.068984417 0.000191657
108 0.8333 0.8333 0.035048017 0.032407167 0.032407167 3.68083E-05
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