※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : Question 1： : : 我查微积分第一基本定理有两个 : : 一个是 if f ε C[a,b] , then : : x : the derivative of ∫ f(t)dt = f(x) for all xε[a,b] : a : : 另外一个是f不用连续(wiki上) : : 只要 : x : ∫ f(t)dt = f(x) for all xε[a,b] 存在即可 : a : : 意思就是条件只要 if f is integrable on [a,b] : 不知你看的是哪个 wiki? http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus 其中 f(x) 是假设在 [a,b] 连续. 不过, 事实上 f(x) 只要在 [a,b] 黎曼可积, 而 d x ---- ∫ f(t) dt = f(x) if x 是 f 的连续点. dx a : : 而有关第一个 : : 我觉得因为f ε C[a,b] 所以可以推得f is integrable on [a,b] : : 所以其实广义而言 第二个也可以吼？ : : 我看他的证明其实没用到continuous : 证明中是需要 f 在 x 连续的; 否则 1 x+△x ----- ∫ f(t) dt △x x 无法控制. : : Question 2： : : 有关於循环论证 : : 我看了一下两种fundamental Calculus Theorem : : 其中一个版本(wiki也是)是用MVT of integration : : (Question 3：老师写的条件是f要连续才能用，可是我看证明其实只是为了可积而已 : : 所以积分MVT只要f is integrable照样可用？) : : 也就是说他在证明过程中使用了： : : x : ∫ f(t)dt = f(z)(x-a) , for some zε[a,x] : a 若 f 不连续, 如何保证 z 存在? : : 问题来了 : : 我去看积分MVT的证明 : : 他必须用到fundamental Calculus Theorem 证明积分MVT, 并不需要 FCT. 只要 f(x) 在 [a,b] 连续, 则有 x1, x2 使 f(x1) = min{f(x): a≦x≦b] = m f(x2) = max{f(x): a≦x≦b] = M 而由积分之保序性, 得 b m(b-a)≦∫ f(x) dx ≦M(b-a) a 而後由 IVT, 存在 z 介於 x1,x2 之间, 使 1 b f(z) = ----- ∫ f(x) dx b-a a : : 可是我们现在却是要证fundamental Calculus Theorem阿 : : 如果用积分MVT去证 : : 会造成循环论证吗？ : : 或许会吧！ : : 不过从另外一个角度看 : : 积分MVT这个定理的"陈述"并未用到fundamental Calculus Theorem : : 条件也都符合我们要的 所以理当可以使用阿！ : : 只是我们没考虑到他的证明而已 : : 所以 如果真的会造成循环论证 : : 那这样就很麻烦了耶 : : 我们在使用每个定理与Lemma时 : : 都要先看看他的证明是否有用到我们想证的东西？ : : -- 嗨! 你好! 祝事事如意, 天天 happy! 有统计问题? 欢迎光临统计专业版! :) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) 我们强调专业的统计方法、实务及学习讨论, 只想要题解的就抱歉了! --

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