最近自己看交大的开放式课程(大一的微积分) 然後看到在讲连续的地方有这个例题 f(x) = 0 , x is rational 1 , x is irrational 然後老师证明他不是连续的方法是这样的 假设f在x=2是连续 那麽 lim f(x) = 0 = f(2) x->2 然後造两个数列Xn=有理数 且 Xn->2 (当n->无限大) Yn=无理数 且 Yn->2 (当n->无限大) 所以 lim f(Xn) = 0 (注1) n->无限大 lim f(Yn) = 1 n->无限大 然後因为用两种不同的逼近方式得到的极限不同所以x=2这点不连续 我的问题是 当在做"注1"这一步骤的时候 不是要f是连续 才能把极限和函数交换吗 ? 为甚麽却直接交换了 ? 还是是因为一开始假设f在x=2时连续 所以不管X=Xn的其他点是否连续 只要当他逼近2就假设他是连续的 然後就能把函数和极限交换了 ? 另外从这里是不是可以知道 无理数的两边会被有理数夹住 ? 或说有理数会被两个无理数夹住 ? 因为这个函数的每一点都不连续 也就是说每一点都是break 所以不会有两个有理数黏在一起 这样想可以吗 ? 然後再问一个小问题 极限存在 是不是代表 不管我用哪种方式去逼近他 都会得到同样的极限值? --

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