※ 引述《kuromu (kuromu)》之铭言： : 在书上看到 pull back push forward 的意义 : 觉得有点混乱 : 没办法对数学式有直观感觉 : 另外 碰到 Lie derivative 的定义 因此也不了解 : α β α β α β : 不知道为什麽 L V = V,β U - U,β V 会多出 U,β V 这一项 : U : 推导的过程看的不是很懂 : 想请问一下这些 非常感谢 [一点粗浅看法 有错请不吝指正] 可以先想一下这件事情： U 对自己的 Lie derivative 应该是什麽？ 我跳出去了，我又跳回来了，打我阿笨蛋～ 自己害自己被打成猪头，就变成 0 了对吧 α β 所以当 U=V 的时候，心理上可以安慰说 U,β V 是必要的(才会对消掉)。 故 Lie derivative 施加在向量场 V 的时候, 不会只抓 V 的分量对 U 微分。 你也可以从另个角度来考虑, 如果只有第一项的话, 那麽我们只要给 V 换个座标表达, 算出来结果就变了, 可是这件事情怎麽可能会依赖於具体座标呢？ (请参考 xcycl 大作: well-definiteness) 追根究柢, Lie derivative 当作用在函数上的时候才会看起来像(其实就是)derivative 我们要一直使用这件事。 比方说 L_V(f) = V(f) = (df)(V), 这里f是函数 那注意到 L_V(f) 本身也是个函数, 对这函数再下去做 U 的 Lie derivative 得到 L_U L_V (f) = L_U ( (df)(V) ) (df)(V) 这东西看起来很玄 可是你写成座标的话, 他就只是把 df 跟 V 各自的分量相乘再加总而已。 所以 L_U ( (df)(V) ) 应该要能拆成 L_U(df) (V) + (df) ( L_U(V) ) 先看 L_U(df) 这东西 我们用 flow 把 df 拉回, 相当於 先用 flow 把 f 拉回之後再给个 "d" 然後注意到 d 是线性的, 所以对 flow 长度做微分这件事跟 d 无关, 也就是说 "L_U" 跟 "d" 的顺序调换不影响结果, 此即 L_U(df) (V) = d( L_U(f)) (V) = L_V ( L_U (f)) = L_V L_U (f) - Rmk - 这件事情在 covariant derivative 中就不成立了, 因为 parallel transport 不见得是 diffeomorphism 来的 至於 (df) ( L_U(V) ) 我们不知道 L_U(V) 是什麽, 就把它放着, 只是改个写法做 L_(L_U(V)) (f) 综合以上得 L_U L_V (f) = L_V L_U (f) + L_(L_U(V)) (f) 因为这个对任意函数 f 都成立, 所以得到 L_U L_V = L_V L_U + L_(L_U(V)) 也就是 L_(L_U(V)) = L_U L_V - L_V L_U 改成向量场的写法就是 L_U(V) = UV - VU Rmk : UV 会是某种微分算子, 但是他有二阶的成份, 故不会是向量场 妙的是拿另个微分算子 VU 来跟他相减, 就会把二阶的部份消去 只剩下一阶的部份, 就会是向量场。 --

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