※ 引述《kuromu (kuromu)》之铭言： : 在书上看到 pull back push forward 的意义 : 觉得有点混乱 : 没办法对数学式有直观感觉 n k 给定一个从 M 打到 N 的(平滑)函数 φ , 对於 M 上某一点 p , 在 φ 的映射底下 p 会被送到 N 上一点 q = φ(p), 然而不只是这样, 给定 p 点的某个(切)向量 U , 有一个自然的方法把 U 送到 N 在 q 点的切向量 U' , 方法如下: 如果有一条通过 p 的曲线 β , 它在 p 的切向量 β'(0) 恰等於 U , 那我们其实可以 把 β'(0) 跟 U 想成同一个东西. 而 β 在 φ 的映射底下会变成一条通过 q 的曲线 γ(t) = φ(β(t)), 於是我们就把 U 经由 φ 往 q 点送的切向量定为 γ'(0). 记做 (dφ)_p(U) 或 (φ_*)_p(U) 取 p 点附近的局部座标 (x^1, ..., x^n), q 点附近的局部座标 (y^1, ...,y^k) 在这两组局部座标之下记 1 n 1 1 n k 1 n φ(x , ..., x ) = (φ (x ,...,x ), ... , φ(x ,...,x )) 1 n β(t) = (x(t), ...,x(t)) 则 j j d j 1 n │ ∂φ│ i (γ'(0)) = ─ φ (x(t), ..., x(t))│ = ──│ U dt │t=0 ∂x^i│p 由此可知 (φ_*)_p(U) 的定义只跟 U 有关, 跟 β 的选取无关. : 另外 碰到 Lie derivative 的定义 因此也不了解 : α β α β α β : 不知道为什麽 L U = U,β V - V,β U 会多出 V,β U 这一项 : v : 推导的过程看的不是很懂 : 想请问一下这些 非常感谢 ╭ ╮ V_p │φ │ V_q ╴╰ -t╯* ↑ ∕▏ │ →∕ → ╮﹎﹎ V_q │→∕ → ╮﹎﹎ ╮ │.∕ → ╮﹎ ╮ ↘ ↗ │∕ → ╮﹎ ╮ ↘ ╱ ▉∕ → ﹎ ╮ ↘ ／ p▇▇▇──﹍ ↘ ／ ╲／ φ(p):= q t 先固定 M 上一点 p , 考虑 U 的 flow φ_t , 即 d ─ φ (x) = U(φ (x)), φ (x) = x dt t t 0 固定 x ,这就是一个 ODE ,而 φ_t (当作t的函数) 就是由 x 点出发, U 这个向量场的 积分曲线. 另一方面, 我们也可以 固定 t 而变动 x , 那麽 φ_t 就是一个由 M 映到 M 自己的函数, 映法是: 把每一个点 x 顺着 U 的积分曲线往前送 t.记 q = φ_t(p). 同时我们可以考虑 V 的 flow ψ_s . 根据定义我们有 V_p = ∂ ψ (p)│ 把 V_q 经由 φ_t 这个 M 上的映射从 q 拉回 p , 或者说, s s │s=0 把 V_q 经由 φ_(-t) 这个映射从 q 送至 p, 根据上面的定义, ╭ ╮ ∂ │ ∂ │ │φ │ V_q = ─ φ 。ψ (q)│ = ─ φ 。ψ。φ (p)│ ╰ -t╯* ∂s -t s │s=0 ∂s -t s t │s=0 而 Lie derivative 就定义为 ╭ ╮ │φ │ V_q - V_p at p ╰ -t╯* L V = lim ──────── U t → 0 t V本身就表示一阶量, 而极限式中分子的部分表示 V 这个一阶量在 U 所生成的 flow 下 所受到的影响, 我们把 V 从 q 拉回到 p 是为了有个比较的基准: 不同点的切向量没有 自然的比较方法. 最後, Lie derivative 就是这个 V 受到 U 影响程度在 p 这点的 一阶量, 因此 Lie derivative 自然是个二阶的量, 而且不难看出, 当 U,V 是座标 切向量时 (也就是存在函数X: (t,s)├→ X(t,s) ∈ M 使得 ∂_t X = U, ∂_s X = V), Lie derivative 处处为零. 计算得 2 at p ∂ ╭ ╮ L V = ───│ φ 。ψ。φ (p) - ψ (p) │ U ∂s ∂t╰ -t s t s ╯(t,s)=(0,0) ∂^2 ╭ ╮ = ───│ -φ 。ψ (p) + ψ。φ (p) │ ∂s ∂t╰ t s s t ╯(t,s)=(0,0) under local ∂╭ i ╮ ∂╭ i ╮ = ─│ -V ∂φ (p) │ + ─│ U ∂ψ (p) │ coor. ∂t╰ i t ╯t=0 ∂s╰ i s ╯s=0 = -VU + UV 另外, 从 PDE 的角度来说, 这其实是 compatibility condition: 如果存在函数 X: (s,t)├→ X(t,s) ∈ M 使得 ∂X = U , ∂X = V,　 t s 那麽因为偏微分可交换: ∂∂X = ∂∂X , t s s t 所以　VU = UV. 反过来说也对, 如果 [U,V]=0 处处成立, 那麽这样的函数 X 一定 (局部)存在. --

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