作者G41271 (茶)
看板Math
标题Re: [微积] 高斯积分跟i
时间Wed Jan 19 06:49:39 2011
※ 引述《jerry78424 (青松碧涛)》之铭言：
: 2
: ∞ -iu
: 若积分的形式是∫ e du
: -∞
: 可以用一般处理高斯积分的方法作吗？就是把i当成常数来看。
: 如果不可以的话原因为何？
可以
高斯积分的形式是
∞
∫ exp[-ax^2+bx] dx = √(π/a) exp[b^2/4a] ; Re(a)>0
-∞
a,b都可以是复数,只要a的实部大於零即可.
然而,虽然本题exp[-iu^2]并不符合此条件(a=i).
但答案仍然是成立的,也就是说本题的答案可以写成√(π/i).
当然,要吹毛求疵的话,可能会问说√(π/i)会有两个解,
(1-i)√(π/2)和(-1+i)√(π/2). 那麽到底是哪一个呢? 答案会是前者.
这里没有办法从高斯积分式看出来.要回到复变或其他方法才能求得.
但高斯积分式所给出的答案√(π/i),仍然是一个很有用的结果.
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◆ From: 112.104.108.207
※ 编辑: G41271 来自: 112.104.108.207 (01/19 06:55)
1F：推 jerry78424 :感谢，不过有点疑问....为何不符合实部>0原式仍成立? 01/19 07:33
如四楼所说,Re(a)>0才能保证此积分收敛.
2F：→ jerry78424 :这样不会违反什麽定理吗?或者为何要强调Re(a)>0? 01/19 07:35
应该这样说,这题用复变或其他方法算出来的答案是(1-i)√(π/2),
发现刚好可以写成√(π/i).所以发现此积分也适用於高斯积分的公式.
而且高斯积分式就是由复变推出来的.
3F：→ jerry78424 :是因为会有重根的关系？ 再次谢谢～ 01/19 07:36
只要a是复数(虚部不为零),那√a就一定会有两解.但在应用上都不会在乎此点,
反正只差个正负号而已.
4F：推 endlesschaos:是因为实部 > 0 代入上下界∞时才会收敛吧 01/19 10:43
是
※ 编辑: G41271 来自: 112.104.108.207 (01/19 17:31)