作者ppia (papayaPaul)
看板Math
标题Re: [复变] 关於幂级数展开中, 系数比的极限
时间Wed Jan 19 22:35:29 2011
※ 引述《hcsoso (索索)》之铭言：
: 最近在自修复变, 碰上了一些问题;
: 在版上爬过一阵文, 没有找到相关的题目,
: 有请了解的人能给个思考的方向, 谢谢大家!
: (不要详解! 想要再想想看, 只是不知如何下手.)
: 在 Stein & Shakarchi 的复变课本中 p67 第 14 题 :
: 设 f 在包含闭单位圆的开集合上复可微, 除了单位元上某一点 z* 是个 pole 之外.
: 若以 a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... 表示 f 在开单位圆上的幂级数展开,
: 则请证明
: lim a / a = z*.
: n -> infty n n+1
: 不太知道第一步要从哪里着手?
k
我觉得写成 f(z)(z-z_0) = g(z) 反而不太容易看, 我是把 f(z) 表示成
2 k
f(z) = (1 + (z/z_0) + (z/z_0) + ...) g(z)
= a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ...
g(z): holomorphic on Ω with g(z_0) != 0
如果我没搞错的话, 应该可以逐步的证明下列几件事:
n
If k = 1, lim a (z_0) exists and does not equals zero.
n→∞ n
n
a_n(z_0)
If k = 2, lim ────── exists and does not equals zero.
n→∞ n
n
a_n(z_0)
If k = 3, lim ────── exists and does not equals zero.
n→∞ (1+...+n)
....
Generally, put S_{1,n}= 1 (for all n), S_{n,t+1} = S_{1,t} + ... + S_{n,t}
n
a_n(z_0)
lim ───── exists and does not equals zero.
n→∞ S_{nk}
注意到 S_{nk} = p_k(n), p_k(x) 是一个 k 阶的多项式. 试试看吧~
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◆ From: 114.32.4.99
※ 编辑: ppia 来自: 114.32.4.99 (01/19 22:36)
1F：推 hcsoso :谢谢! 刚按照前一种方法解完, 我来试试看这种:) 01/20 01:00
2F：→ ppia :没有恶意. 但是我真的有点怀疑第一种方法可以解的 01/20 02:53
3F：→ ppia :出来 因为在那种展开式里面我们很难用到 g(z_0)!=0 01/20 02:54
4F：→ ppia :这件事 然而这件事没有用上的话这题是做不出来的 01/20 02:54
5F：推 hcsoso :其实可以, 我等等写出那种解法. 当然会用到~ 01/20 12:18
6F：→ hcsoso :不过, 分析的过程并不简单, 我想可能没有你的方法好! 01/20 12:19
7F：推 hcsoso :疑? 我突然有点担心你一开始那样假设 f(z) 与 g(z) 01/20 14:14
8F：→ hcsoso :之间的关系式是可以的吗? 因为带 z = z_0 好像会... 01/20 14:15
9F：→ ppia :我们只对 |z|<1 做展开就可以了 01/20 15:14