作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
标题Re: [复变] 关於幂级数展开中, 系数比的极限
时间Thu Jan 20 16:16:41 2011
※ 引述《hcsoso (索索)》之铭言：
: 最近在自修复变, 碰上了一些问题;
: 在版上爬过一阵文, 没有找到相关的题目,
: 有请了解的人能给个思考的方向, 谢谢大家!
: (不要详解! 想要再想想看, 只是不知如何下手.)
: 在 Stein & Shakarchi 的复变课本中 p67 第 14 题 :
: 设 f 在包含闭单位圆的开集合上复可微, 除了单位元上某一点 z* 是个 pole 之外.
: 若以 a_0 + a_1*z + a_2*z^2 + ... 表示 f 在开单位圆上的幂级数展开,
: 则请证明
: lim a / a = z*.
: n -> infty n n+1
: 不太知道第一步要从哪里着手?
先写一个有关数列的小引理
Lemma:
若Xn, Yn 为两数列，Xn/X(n+1)→1，Yn/Xn→0
则 [Xn+Yn]/[X(n+1)+Y(n+1)] → 1
回到原题：
由旋转，可设z* = 1
Case 1: f_k(z) = (1-z)^(-k)
此时 a_n,k = C(k+n-1,n) = C(k+n-1,N-1)
故 a_n,k / a_(n+1),k →1, a_n,k / n^(k-1) → 1
Case 2: General case
设f = Sigma (k=1至N)c_k f_N + g , c_k =/= 0，g在1解析
g有比1大之收敛半径， 设 g(z) = Sigma b_n z^n，则
limsup (b_n)^(1/n) = r '< 1，存在 r'<r <1 使得 b_n < C r^n (*)
记 Xn = c_N a_n,N ， Yn = Sigma (k=1 至 N-1) c_k a_n,k + b_n
则此时 an = Xn + Yn
由Case 1，及(*)，知可用Lemma，故 an / a_(n+1) → 1
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代数几何观点！
Algebro-Geometrical Aspect!
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◆ From: 61.62.149.226
1F：推 hcsoso :哎呀, 好多新方法, 我研究一下再回~ 01/20 19:35