作者yusd24 (阿乡)
看板Math
标题Re: [代数] 用order来判断group的性质
时间Sun Jan 23 00:53:53 2011
※ 引述《wyob (Go Dolphins)》之铭言：
: 最近在复习代数时做题目的时候，发现这类型的题目
: 觉得能用order来判断群很有趣於是就多找了一些题目
: 在还没读到有关Sylow定理前有些这类型的题目，能用其他的性质就判断出来
: 可是像order大一点的就不会了，所以想来这请教几题
: 1.If o(G)=15 prove G is cyclic group(这题如果不用sylow定理怎麽做?)
: 2.o(G)=pq where p,q be prime and p<q,prove if p不能整除(q-1) then G
: is cyclic group(这如果是对的就能证明上面那题，不过不知怎麽证这题)
Let H be the q-Sylow of G and K be the p-Sylow.
Note that H and K are normal subgroups of G.
By counting element, |G|=|HK| and H交集K = {e}.
So G = H x| K, the semidirect product.
Now determine the homomorphism K → Aut(H)
Since p does NOT divide q-1, this homomorphism must be identity.
And this implies the semidirect product is in fact a direct product.
Therefore, G is cyclic. (H, K are cyclic with orders p,q and (p,q)=1)
: 3.o(G)=257，prove G is cyclic group(这题应该要找p-sylow subgroup吗?
: 这是找到了要怎麽证它是循环群呢?)
: 先感谢指点迷津的大大
257 是质数...
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 219.71.210.134
1F：→ yusd24 :其实你可以在第三行之後直接证明 G = H x K 01/23 00:56
2F：→ yusd24 :(如果不喜欢用 Semidirect product 的话..) 01/23 00:57
3F：→ wyob :先感谢楼上我想一下，有p-sylow以外的方法妈 01/23 00:58
4F：→ wyob :因为这提出现在比较前面的章节，先感谢刚刚寄信给我 01/23 00:59
5F：→ wyob :的大大 01/23 00:59
6F：→ VFresh :考虑action 应该可以做出来 总之还是要找normal子群 01/23 01:43
7F：→ yusd24 :action 就几乎是再证明一次简易版的 Sylow 01/23 09:28
8F：→ VFresh :我是想考虑作用在cosets上面的那个action 01/23 12:52
9F：→ VFresh :但是全部打出来很复杂XDDDD 01/23 12:52