※ 引述《donod (我所知道的只有一件事)》之铭言： : 1.对x积分从负无限到正无限 cos(mx)/(x^2+1) dx : 2.对x积分从零到无限 1/(1+x^2+x^4) dx : 第2题我用x=e^y去做变数变换，但是得到一个1/{(coshx)^2-1}後， : 我就做不下去了！ : : 推 G41271 :这些都是复变经典题目耶 01/21 22:40 : → donod :我是有想到复变去，但是那边还没复习到，谢谢楼上 01/21 22:44 : → donod :不过我力学老师说，所有微积分都可以不用靠复变作 01/21 22:45 : → donod :所以想试试看 01/21 22:45 : 推 G41271 :是可以啦 01/21 22:46 : 推 sm008150204 :1+x^2+x^4 = (1-x+x^2)(1+x+x^2+)然後用部分分式 01/21 23:28 其余恕删,上周有看到这篇,不过那时再忙,今天忽然想到 "所有微积分都可以不用靠复变作"这句,所以来回文一下. 1. ∞ cosmx ∫ --------- dx -∞ 1 + x^2 这题积不出来,初微无效. 法一: Laplace Transform 用LT来解这题普遍见於工数书的LT应用章节内. 要用LT,必须要求t>0,所以令｜m｜= t, 则 ∞ cosmx ∞ costx ∫ --------- dx = ∫ --------- dx = I(t) . -∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2 ∞ 1 ∞ 1 s L{I(t)} = ∫ --------- L{costx} dx = ∫ --------- ----------- dx -∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2 x^2 + s^2 s ∞ 1 1 = ------- ∫ [--------- - ----------- ] dx s^2-1 -∞ 1 + x^2 x^2 + s^2 s 1 x ∞ = ------- [arctan(x) - --- arctan(---) ] s^2-1 s s -∞ s 1 π = ------- π[ 1 - --- ] = ----- . s^2-1 s s+1 所以 I(t) = L^-1{π/(s+1)} = π e^(-t) ,得 ∞ cosmx ∫ --------- dx = π e^(-｜m｜) . -∞ 1 + x^2 大概是这样.当然,可以挑出骨头,LT只对t>0时有效,所以当m=0时,LT会失败. ∞ 1 ∞ 只好另外写 ∫ --------- dx = [arctanx] = π = π e^(-0) -∞ 1 + x^2 -∞ ∞ cosmx 所以 ∫ --------- dx = π e^(-｜m｜) -∞ 1 + x^2 法二 双重积分转换 名字随便取的,不知道怎麽叫比较好.随便. ∞ sinxy let t=｜m｜≧0, 考虑 1/(1+x^2) = ∫ e^(-y) ------- dy 0 x ∞ cosmx ∞ costx ∞ ∞ sinxy ∫ --------- dx = ∫ --------- dx = ∫costx ∫e^(-y) ------- dy dx = -∞ 1 + x^2 -∞ 1 + x^2 -∞ 0 x ∞ ∞ costx sinyx ∫e^(-y) ∫ -------------- dx dy . 0 -∞ x ∞ costx sinyx 1 ∞ sin(y+t)x sin(y-t)x I(y) = ∫ ------------- dx = --- ∫[ ---------- - ----------- ] dx -∞ x 2 -∞ x x = π/2 [ sgn(y+t)-sgn(y-t) ] . ∞ +1,u>0 (∫sinux/x dx = πsgn(u) ,见352篇(也是双重积分解,没用到复变).sgn(u) = 0,u=0 ) -∞ -1,u<0 π, y>t 所以I(y) = π/2, y=t 0, y<t 回到原式: ∞ ∞ costx sinyx ∞ ∫e^(-y) ∫ -------------- dx dy = ∫e^(-y) I(y) dy = 0 -∞ x 0 ∞ ∫e^(-y) π dy = πe^(-t) . 得 t ∞ cosmx ∫ --------- dx = π e^(-｜m｜) . -∞ 1 + x^2 PS:此法也可以写成Inverse Laplace Transform. 法三 Fourier Transform 考虑 G(k) = e^(-｜k∣) 的 Inverse Fourier Transform, 1 ∞ F^-1{G(k)} = ------- ∫ e^(-｜k∣) e^(ikx) dk √(2π) -∞ 1 ∞ √2 1 = -------- 2 ∫e^(-k) coskx dk = ----- -------- = g(x) √(2π) 0 √π x^2 +1 1 ∞ √2 所以 F{g(x)} = ------- ∫ ------------ e^(-ikx) dx = G(k) , 得 √(2π) -∞ √π(x^2 +1) ∞ e^(-ikx) ∞ coskx ∫ ----------- dx = πe^(-｜k｜) , 2 ∫ --------- dx = π e^(-｜k｜),得 -∞ (x^2 +1) 0 1 + x^2 ∞ coskx ∫ --------- dx = π e^(-｜k｜) , 再把k换成m即得解. -∞ 1 + x^2 PS:第三个很明显是由答案去凑解法,但算式最短,考试时这样写最快. 有错请指正 --

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