※ 引述《donod (我所知道的只有一件事)》之铭言： : 2.对x积分从零到无限 1/(1+x^2+x^4) dx : 第2题我用x=e^y去做变数变换，但是得到一个1/{(coshx)^2-1}後， 哪有,变错了吧. : 我就做不下去了！ : 请强者帮忙解答 : 推 G41271 :这些都是复变经典题目耶 01/21 22:40 : → donod :我是有想到复变去，但是那边还没复习到，谢谢楼上 01/21 22:44 : → donod :不过我力学老师说，所有微积分都可以不用靠复变作 01/21 22:45 : → donod :所以想试试看 01/21 22:45 : 推 G41271 :是可以啦 01/21 22:46 : → Vulpix :第二题可以因式分解然後拆项积分 01/21 23:19 : → Vulpix :至於你本来的作法也可以用拆项，或者利用 01/21 23:20 : → Vulpix :∫dx/{(coshx)^2-1} = ∫(cschx)^2 dx = -cothx +C 01/21 23:22 : 推 sm008150204 :1+x^2+x^4 = (1-x+x^2)(1+x+x^2+)然後用部分分式 01/21 23:28 : → Vulpix :虽然我刚刚用你的代换换不出你的1/{(coshx)^2-1} 01/21 23:30 2. ∞ dx ∞ dx ∫ ------------ = ∫ ------------------- 0 x^4 +x^2 +1 0 (x^2+x+1)(x^2-x+1) 法一 初微 这题积得出来,只是结果很繁而已.用(z-3-15)的技巧来积. (x^2+1) dx (1+ 1/x^2) dx A = ∫ -------------- = ∫ ----------------- , let u = x - 1/x : x^4 +x^2 +1 (x- 1/x)^2 + 3 du 1 1 x^2-1 A = ∫-------- = --- arctan(u/√3) + C = --- arctan(-------) + C u^2 +3 √3 √3 x√3 (x^2-1) dx (1- 1/x^2) dx B = ∫ -------------- = ∫ ----------------- , let v = x + 1/x : x^4 +x^2 +1 (x+ 1/x)^2 - 1 dv v-1 x^2-x+1 B = ∫-------- = 0.5 ln｜-----｜+ C = 0.5 ln(---------)+ C v^2 -1 v+1 x^2+x+1 dx 1 x^2-1 1 x^2+x+1 所以 ∫ ------------ = (A-B)/2 = ---- arctan(-------) + ---ln(---------) +C x^4 +x^2 +1 2√3 x√3 4 x^2-x+1 最後代上下限,注意是暇积分. ∞ dx 1 x^2-1 1 x^2+x+1 ∞ ∫ ------------ = [ ---- arctan(-------) + ---ln(---------) ] 0 x^4 +x^2 +1 2√3 x√3 4 x^2-x+1 0 1 = ----- { 0.5π - (-0.5π)} = π/2√3 2√3 所以 ∞ dx ∫ ------------ = π/2√3 0 x^4 +x^2 +1 法二 Fourier Transform: Parseval's Theorem 考虑 e^(-a｜k｜) e(ibk) 的 Inverse Fourier Transform,其中a>0. 1 ∞ F^-1{e^(-a｜k｜) e(ibk)} = --------- ∫ e^(-a｜k｜) e(ibk) e^(ikx) dk = √(2π) -∞ 1 ∞ 2 ∞ -------- ∫ e^(-a｜k｜) e^(i(b+x)k) dk = ------- ∫ e^(-ak) cos(b+x)k dk = √(2π) -∞ √(2π) 0 √2 a ---- --------------- , √π a^2 + (b+x)^2 a √π 所以 F{ --------------- } = ---- e^(-a｜k｜) e(ibk) a^2 + (b+x)^2 √2 取 (a,b) = (√3/2 , ±1/2) . 且令 g(x) = 1/(x^2+x+1) , h(x) = 1/(x^2-x+1) .则 √(2π) F{g(x)} = --------- e^[-√3/2｜k｜] e^[+ik/2] = G(k) , √3 √(2π) F{h(x)} = --------- e^[-√3/2｜k｜] e^[-ik/2] = H(k) . √3 Parseval's Theorem : ∞ ╴╴ ∞ ╴╴ ∫ g(x)h(x) dx = ∫G(k)H(k) dk ,所以 -∞ -∞ ∞ dx ∞ 2π ∫ ------------------- = ∫ ---- e^[-√3｜k｜] e^[+ik] dk = -∞ (x^2+x+1)(x^2-x+1) -∞ 3 2π ∞ 4π √3 ---- 2∫ e^[-√3k] cosk dk = ----- ------- = π/√3 . 3 0 3 3+1 因此, ∞ dx ∫ ------------ = π/2√3 0 x^4 +x^2 +1 我只想得到这两个方法,第一个初微硬解其实不算是方法.而且这两个都比复变慢许多. 所以复变的留数定理是很有用的工具. 有错请指正. --

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