作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [微积] 极限问题
时间Fri Jan 28 12:05:43 2011
※ 引述《hellobass (玖哲玖哲八一折)》之铭言：
:
: 1-kx x
: lim ( ─── ) == 5 求 k 值
: x→∞ 1+kx
:
: ∞
: 因为不是 1 型的 ，所以没法代公式
: 感谢!!
假设是在复数系中, logarithm 取 principal value.
[(1-kx)/(1+kx)]^x = exp{x ln[(1-kx)/(1+kx)]}
= exp{x [ln|(1-kx)/(1+kx)|+ i Arg((1-kx)/(1+kx))]}
若 k≠0, 则 x 够大时 (1-kx)/(1+kx) < 0, 故
[(1-kx)/(1+kx)]^x = exp{x [ln|(1-kx)/(1+kx)|+ iπ}
= exp{x [ln|(1-kx)/(1+kx)|}*exp{ixπ}
lim x ln|(1-kx)/(1+kx)|
x→∞
ln|(1-kx)/(1+kx)|
= lim --------------------- (*)
x→∞ 1/x
若 k=0, 则 x ln|(1-kx)/(1+kx)| 恒为 0,
[(1-kx)/(1+kx)]^x = 1^x = 1 for all x.
设 k≠0, 则 |(1-kx)/(1+kx)|→1 当 x→∞; 而 1/x→0,
故 (*) 可用 L'Hospital's rule,
ln|(1-kx)/(1+kx)| -k/(1-kx)-k/(1+kx)
------------------- ～ --------------------
1/x -1/x^2
= 2kx^2/(1-k^2 x^2) → -2/k 当 x→∞
所以,
|(1-kx)/(1+kx)|^x → e^{-2/k},
但因 exp(ixπ} 当 x→∞ 时极限不存在, 故
lim [(1-kx)/(1+kx)]^x
x→∞
不存在.
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※ 编辑: yhliu 来自: 125.233.154.123 (01/28 12:09)
1F：推 hellobass :感谢你... 01/28 15:11