※ 引述《Cla (Jay)》之铭言： : 一题简单定积分的疑惑 : 1 : ∫ 1 / x^2 dx : -1 : 用图形来看积分面积应该是恒正 : 可是算出来的答案却是 -2 : 可以请教大大 我的想法哪里有问题吗 : b 1 : =lim ∫1/x^2 dx + lim ∫ 1/x^2 dx : b→0 -1 b→0 b : b 1 : =lim {-1/x}| + lim {-1/x}| : b→0 -1 b→0 b : =lim { [- (1/b) -1] + [-1 + (1/b)] } = -2 (-2与图形面积恒正矛盾? ) : b→0 事实上这个积分属於超奇异积分 因为积分时会通过0这个奇异点 而且Cauchy principal value积分不存在 所以要用Hadamard principal value积分 其实就是把Cauchy principal value积分会发散的部分拿掉 1 -ε 1 H.P.V. ∫ 1/x^2 dx = lim [∫ 1/x^2 + ∫ 1/x^2 -2/ε] -1 ε->0 -1 ε |-ε | 1 = lim [ -1/x | -1/x | -2/ε] ε->0 |-1 |ε = lim [ 1/ε -1 -1 + 1/ε - 2/ε] ε->0 = -2 所以取Hadamard principal value积分的确是 -2 但那是把积分发散部分拿掉之後的结果 在边界元素法有一派学者就在处理这类超奇异积分 --

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