作者yclinpa (薇楷的爹)
看板Math
标题Re: [线代] Linear transformation
时间Sun Jan 30 10:37:37 2011
※ 引述《GSXSP (Gloria)》之铭言：
: 要怎麽证明
: 一个linear transformation
: 一定会有eigenvector呢?
1. 你需要 linear transformation T: V -> V，也就是
定义域空间和值域空间相同，否则免谈。
2. 你的向量空间 V 必须布於一个代数封闭体 (algebraically
closed field)，不然的话可能找不到 eigenvectors.
例：考虑 T 为 R^2 -> R^2 上的逆时针方向 90 度的旋转变换。
即 T(x,y) = (-y,x)。
此变换没有 eigenvectors (over R)。
但是看成 C^2 -> C^2 上， T 有两个 eigenvalues +i, -i,
其 eigenvectors 分别为 (1,-i), (1,i)。
3. V 还需要是有限维向量空间。无限维的有反例。
x
例： V = C[x]， T(f) = ∫ f(t) dt.
0
4. 假设 V 为布於一代数封闭体 F 的有限维向量空间， T : V -> V
为一线性变换。易知
det( T - λI ) = 0 在 F 内有根，
所以在某个 λ 上， (T - λI) v = 0 有非零解，
其解即为 eigenvalue 是 λ 的 eigenvector。
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废话这麽多，还不就是为了捞 P 币 :q
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