作者sophialiege (with friends)
看板Math
标题Re: [中学] AMC 12
时间Sun Jan 30 11:33:44 2011
※ 引述《kyoooooo123 (快乐的大学生)》之铭言：
: 令f(x)=(ax^2+bx)^1/2 ，问有多少个实数值a分别会有对应的正数b使得f的定义
: 域及值域为相同的集合？
: 我令f(x)=x算出a、b关系但是看不出来有几个
: 答案是2
: 麻烦高手们~~
题目应该是假设f(x)为实函数
f(x) = (ax^2 + bx)^{1/2}
if a = 0, let b = 1, f(x) = x^{1/2} 值域=定义域
if a > 0, f(x) 定义域 = {x : ax^2 + bx >= 0} = {x : x <= -b/a or x >= 0}
因为-b/a为负数且f(x)的值域至少>=0, 所以a>0不存在解
if a < 0, f(x) 定义域 = {x : ax^2 + bx >= 0} = {x : 0 <= x <= -b/a}
因为连续性,只要看[min(f(x)), max(f(x))]是否等於[0, -b/a]
显然min(f(x)) = 0
而max(f(x)) = (a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a))^{1/2} = (-b^2/(4a))^{1/2}
若(-b^2/(4a))^{1/2} = -b/a,则 a = -4, 代入检验
所以 a = 0, a = -4, 共2个可能的实数a
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