作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [线代] 非齐次差分方程组
时间Tue Feb 1 12:17:21 2011
※ 引述《robertshih (施抄)》之铭言：
: 抱歉 标题不够长 用中文代替之 英文应该是:
: Nonhomogeneous simultaneous recurrence relations
: f = 1 + m
: N N-1
: m = m + f
: N N-1 N-1
m(n) = m(n-1) + f(n-1)
= m(n-1) + (m(n-2)+1)
= m(n-1) + m(n-2) + 1
Particular solution:
m(n) = constant
==> m_p(n) = -1
General solution for homogeneous equation:
特徵方程式 t^2-t-1=0, t=(1 ±√5)/2
故 GS for homogeneous equation 为
m_h(n) = C1*[(1-√5)/2]^n + C2*[(1+√5)/2]^n
所以,
m(n) = -1 + C1*[(1-√5)/2]^n + C2*[(1+√5)/2]^n
f(n) = C1*[(1-√5)/2]^{n-1} + C2*[(1+√5)/2]^{n-1}
或
f(n) = 1 + m(n-1)
= 1 + (m(n-2)+f(n-2))
= 1 + (f(n-1)-1) + f(n-2)
= f(n-1) + f(n-2)
得 f(n)=A1*[(1-√5)/2]^n + A2*[(1+√5)/2]^n
再代入第一个方程式得
m(n) = f(n+1)-1
= A1*[(1-√5)/2]^{n+1} + A2*[(1+√5)/2]^{n+1} - 1
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