作者superconan (超级柯南)
看板Math
标题Re: [中学] 请教一题三角
时间Tue Feb 1 14:15:36 2011
※ 引述《Eleazer (DSS & Sim Lab)》之铭言：
: ΔABC中，sinA + sinB + sinC 之最大值M=?
: Ans:(3√3)/2
: 谢谢!
sinA + sinB + sinC
A + B A - B
= 2 sin ──── cos ──── + sinC
2 2
A + B
≦ 2 sin ──── + sinC
2 。
A + B = 180 - C
。 C
= 2 sin ( 90 - ── ) + sinC
2
C C C
= 2 cos ── + 2 sin ── cos ──
2 2 2
C C
= 2 cos ── ( 1 + sin ── )
2 2
C C
Let f(C) = 2 cos ── ( 1 + sin ── )
2 2
C C C C
then f'(C) = - sin ── ( 1 + sin ── ) + cos ── cos ──
2 2 2 2
C 2 C C 2
= - ( sin ── ) - sin ── + [ 1 - ( sin ── ) ]
2 2 2
C 2 C
= - 2 ( sin ── ) - sin ── + 1
2 2
When f'(C) = 0.
C 2 C
=> 2 ( sin ── ) + sin ── - 1 = 0
2 2
C -1 ±√( 1 + 4*2*1 ) 1
=> sin ── = ──────────── = ── or -1 ( -1 不合 )
2 2*2 2
。
=> C = 60
。
∴ When C = 60 ,
。 。
60 60 √3 3 3√3
f(C) = 2 cos ── ( 1 + sin ── ) = 2 * ─── * ── = ───
2 2 2 2 2
3√3 3√3
Hence sinA + sinB + sinC ≦ ─── , M = ───
2 2 #
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.47.107.142
1F：推 secjmy :f'(C)那边微分好像少了1/2，不过不影响 02/01 19:38
2F：推 Eleazer :谢谢您的解答, 我前面做法跟您一样, 不过後面没用微 02/02 15:22
3F：→ Eleazer :分去算 02/02 15:22
※ 编辑: superconan 来自: 114.47.107.142 (02/02 21:47)
4F：→ superconan :谢谢s大，已改正。 02/02 21:48
5F：→ superconan :回E大，能帮到你就好XD 02/02 21:49