※ 引述《monzo ()》之铭言： : http://ezproxy.lib.ncu.edu.tw:8080/~arhui/cexamn/exam/SC02_97_02.pdf : 1.(a) : integral(0,pi) 1/(a-cosx) dx π ∫1/(a-cosx) dx，式中 a > 1 0 方法一： 令 t = tan(x/2) cosx = (1-t^2)/(1+t^2) dx = 2/(1+t^2) dt t 从 0 到 ∞ 原积分式等於 ∞ ∫2/(a(1+t^2)-(1-t^2)) dt 0 ∞ =∫2/((a+1)t^2+(a-1)) dt 0 令 √(a+1) t = √(a-1) y 原积分式等於 ∞ 2/√((a+1)(a-1)) ∫1/(y^2+1)dy 0 |∞ = 2/√(a^2-1) arctany| = π/√(a^2-1) |0 方法二： π 2π ∫1/(a-cosx) dx = (1/2)∫1/(a-cosx) dx 0 0 令 z = exp(ix) cosx = (z+1/z)/2 dx = 1/(iz) dz contour C 是以原点为圆心的单位圆。 原积分式等於 contour integral -(1/i)∫1/(z^2-2az+1) dz C z^2 - 2az + 1 = 0 → z = a +- √(a^2-1) 其中 z- = a - √(a^2-1) 在 C 里面， z+ = a + √(a^2-1) 在 C 外面。 原积分式等於 | -(1/i)(2πi) 1/(2z-2a)| |z = z- =π/√(a^2-1) --

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