用留数算复变函数的积分很容易， 所以常常会把实函数想成复变函数来处理问题， 例如你这题想要做的定积分。 至於避点不避点的问题，在於你选的复变函数。 例如这题你想要选 f(z) = (sin z)/z(1+z^2) 注意到此时你在对上半圆做 contour 积分的时候， 你的函数在积分路径上不会有问题，所以可以用留数定理解决问题。 不过如果你是选这个函数的话， 或许你很难说这个函数在圆弧上的积分会收敛到 0(也许根本不会是)。 然而这是留数积分最厉害的地方 ─ 把你不会算的积分加上一段「无穷大的圆弧」积分变成封闭曲线， 然後发现这段「无穷大的圆弧」积分是零(或是一个可以算的数字)。 这样就可以想成封闭曲线，再用留数定理。 如果你选的复变函数是 f(z) = e^{iz}/z(1+z^2) 然後想要先利用留数算这个函数在上半圆的积分，再取虚部。 这个时候你就不再能够只取「上半圆」， 因为复变函数的线积分不可以让曲线经过 pole。 因此我们就动点手术，用一个小小的圆弧绕过 z=0。 用这个路径来取代上半圆。 若是我们可以证明，当这个小圆弧半径收敛到 0 、与大半圆半径趋近无穷的时候， f(z) 在小圆弧上面的积分与大半圆弧上的积分收敛到零(或是某个可以算的数字)， 那我们原本要算的积分就可以想成是这个 "contour" 的积分，套用留数定理。 我们可以先观察一下 f(z) 在实轴上的积分变成 g(x) 的积分 (从负无穷到无穷) g(x) = (cos x)/x(1+x^2) + i(sin x)/x(1+x^2) 问题就是这个时候 g(x) 的积分其实是瑕积分，瑕点在 x=0 (g(x)的实部部分) 但是你也可以看到 g(x) 的虚部在 x=0 不是瑕点， 所以你这样假设复变函数的话，你就必须要考虑这个瑕点的影响，修改路径。 虽然付出这个代价， 但是此时你可以很容易的证明大圆弧的积分会收敛到零。 而小圆弧的积分是可以算的！ --

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