作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
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标题Re: [分析] 复变的实数定积分
时间Wed Feb 2 00:07:04 2011
※ 引述《JASONVI (大目)》之铭言：
: doom8199大您好
: 您说要看被积函数是啥
: 那以此题为例
: ∞ sinx dx
: ∫ ----------
: -∞ x(1+x^2)
: sinz
: 以f(z) = ---------- 来说 z = 0为可去奇点，极点:z = +i,-i
: z(1+z^2)
: 那如果化成
: exp(iz)
: f(z) = Im{-----------} 那z = 0是属於极点，就不是可去奇点了吗?
: z(1+z^2)
: 那这样对他积分上半圆 实数轴上的0就要对他做避点积分吗?
<1>
sin(z)
不能直接考虑 f(z) = ──── 阿 XD
z(1+z^2)
因为当你使用半圆 contour 来算积分
其外围积分的绝对值不会收敛至 0 if 半径R→∞
也就是
∞ sin(x) sin(z)
∫ ──── dx ≠ 2πi* Res{ ────, i }
-∞ x(1+x^2) z(1+z^2)
= π*sinh(1)
除非你有办法自己设计出很奇怪的 contour
最後可以推得原始瑕积分
<2>
考虑以下积分
exp(iz)
∮ g(z) dz for g(z) = ────
c z(1+z^2)
g(z) 具有 一阶 pole z=0 , z=i、 z=-i
所以一般书上会用大小半圆来定义 c
并且外围积分会收敛至 0
所以最後可以得到:
∞ sin(x)
∫ ──── dx = Im{ πi* Res{ g(z), 0 } + 2πi*Res{ g(z), i} }
-∞ x(1+x^2)
= Im{ πi*1 - πi*exp(-1) }
= π*[1-exp(-1)]
但若考虑的积分为如下：
exp(iz) - 1
∮ h(z) dz for h(z) = ──────
c z(1+z^2)
h(z) 在 z=0 虽没有定义
但重点在於其邻域具有很好的性质
所以在算 contour 积分的时候
c 有没有绕过 z=0 附近都没差
因此:
∞ sin(x)
∫ ──── dx = Im{ 2πi*Res{ h(z), i} }
-∞ x(1+x^2)
exp(-1) - 1
= Im{ 2πi*────── }
-2
= π*[1 - exp(-1)]
若你考虑的被积函数是 h(z)
并且 contour 的设计也有绕过 z=0 该点
那结果会变成：
∞ sin(x)
∫ ──── dx = Im{ πi*Res{ h(z), 0} + 2πi*Res{ h(z), i} }
-∞ x(1+x^2)
= Im{ πi*0 + 2πi*Res{ h(z), i} }
= ...
答案不变
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 61.64.93.41
1F：→ JASONVI :doom8199大您好 这样写我已经大致可以了解 02/02 01:47
2F：→ JASONVI :解答也是用g(z)的方法算，不过您的h(z) 为什麽可以令 02/02 01:49
3F：→ JASONVI :成[exp(iz)-1]/z(1+z^2)阿?? 02/02 01:50
4F：推 JASONVI :这边我就不懂了 02/02 01:54
因为你是要利用自己假设的 model 来 "凑答案"
考虑一 closed contour 积分:
∮ h(z) dz = 2πi*Σ_k Res{ h(z), p_k} for finite poles
c
R π iθ iθ
→ ∫ h(x) dx + ∫ h(Re )*iRe dθ = 2πi*Σ_k Res{ h(z), p_k}
-R 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
箭头标示的积分在半径 R 大到一定程度的时候
其积分值会开始有往 z=0 逼近的趋势 (可以自己证明看看)
所以最後当 R→∞
∞
即可知道 ∫ h(x) dx = ?
-∞
∞ cos(x) - 1 ∞ sin(x)
也就是同时知道 ∫ ───── dx 和 ∫ ──── dx
-∞ x(1+x^2) -∞ x(1+x^2)
而後者正是我们想要求得的结果，那假设的 model 就是有意义的
再来假设 h(z) 还有一个目的
就是故意让 h(z) 在 z=0 点变成是 removable singular point
iz 1 2
简单的 idea 可以考虑 e = 1 + (iz) + ─*(iz) + ...
2
这样你应该就可以看出我为何要假设 h(z)
这样子假设优点在於可以少算很多留数值
尤其是遇到 higher order pole，计算量会减低的很明显 (因为省去微分动作)
但还是会付出 penalty
那就是证明其它路径的积分是否会收敛於 0、
或是作一些变数变换 相对上会变困难
※ 编辑: doom8199 来自: 61.64.93.41 (02/03 00:00)
5F：推 JASONVI :大年初一在这先跟您拜个年 感谢您大年初一还上来解惑 02/03 12:29
happy new year of Rabbit !!
6F：→ JASONVI :那cosx-1 这三角函数是怎麽变出来的?? 02/03 12:30
7F：→ JASONVI :是exp(iz)-1 = cosz + sinz -1 吗?? 02/03 12:31
对，不过 sin(z) 要乘上 i，应该是原po笔误
8F：→ JASONVI :所以变成Re{cosx-1)+Im{sinx} ?? 02/03 12:32
9F：推 JASONVI :所以令exp(iz)-1的用意 其实跟exp(iz)意思一样 都是 02/03 12:35
10F：→ JASONVI :可以取Im{sinx} 但是设成exp(iz)-1 可以让z=0 变成 02/03 12:36
11F：→ JASONVI :removealbe singular point 02/03 12:37
12F：→ JASONVI :我这样解释有错吗?? 02/03 12:37
解释是对的
13F：推 JASONVI :所以前面的推文说 避点跟不避点意思ㄧ样 但是函数要 02/03 12:40
14F：→ JASONVI :令成h(z)才可以 如果令成g(z)就需要避点了 02/03 12:40
这个可能要问版上推文的先进 ><
或许有其它的用意
但我的话会解读成 被积函数不适用此提
我猜推文者是考虑以下 closed contour int. :
sin(z)
∮ f(z) dz for f(z) = ────
c z(1+z^2)
对此积分来说， c 有没有绕过 z=0 该点都没差
∞ sin(x)
但是该积分对求解 ∫ ──── dx "可能"无实质帮助
-∞ x(1+x^2)
※ 编辑: doom8199 来自: 61.64.93.41 (02/03 23:31)