作者ilovecs34 (彼得)
看板Math
标题Re: [线代] 一题关於对称矩阵证明
时间Wed Feb 2 16:08:18 2011
※ 引述《hcl012 (怪龙-卡西欧鲁)》之铭言：
: 一个对称矩阵Ｍ有eigenvector u_i 和 eigenvalue λ_i
: 也就是说 Ｍ * u_i = λ_i * u_i
: Ｄ T
: 题目是证明 Ｍ = Σ λ_i * u_i * u_i
: i=1
: D是矩阵Ｍ内的行数
: T
: 因为Ｍ是对称矩阵的关系，所以u_i * u_i是单位矩阵
: 所以我们可以得到
: T
: Ｍ * u_i = λ_i * u_i = λ_i * u_i * u_i * u_i
: 然後把两边的u_i去掉
: T
: Ｍ = λ_i * u_i * u_i
: 问题主要是在於右边的Σ是怎麽出现的呢?
: Ｄ t
: 照这样推导的话Σ λ_i * u_i * u_i应该是等於D*Ｍ才对
: i=1
: 是我的推导哪里出了问题了吗?
: 如果我的证法有误的话，正确的证法是如何呢?
一个对称矩阵Ｍ有eigenvector u_i 和 eigenvalue λ_i
也就是说 Ｍ * u_i = λ_i * u_i
Ｄ T
( Σ λ_i * u_i * u_i)*u_j
i=1
T T
=(λ_1 * u_1 * u_1)*u_j+...+(λ_D * u_D * u_D)*u_j
T
=(λ_j * u_j * u_j)*u_j
T
=λ_j * u_j *(u_j*u_j) =λ_j * u_j = M * u_j
Ｄ T
Hence, Ｍ = Σ λ_i * u_i * u_i.
i=1
这是我想出来的推导,有错误也请大方更正orz.
你推导的部分，我觉得约掉(u_i)的地方感觉怪怪的。 囧rz
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.47.171.85
1F：推 moon2519 :M是对称实矩阵所以M可以"正交对角化"~ 02/02 20:38
2F：→ moon2519 :再做右乘ui(eigenvector) ~ 以上浅见 ~ 02/02 20:39
3F：→ moon2519 := =仔细重看一便...抱歉我好像误会了...题目要证的好 02/02 20:56
4F：→ moon2519 :像就是M可否表达为正交对角?? orz... 02/02 20:56
5F：→ ilovecs34 :我不太懂楼上的意思是= =? 02/02 21:47
6F：推 hcl012 :啊...的确是不能把两边的u_i同时去掉，是我搞错了 02/03 02:08
7F：推 Vulpix :最後一步用右乘u_j^T，再对j加总。这个要说出来 02/04 01:22
8F：推 moon2519 :哈~我也看不懂我在回什麽了...= =sorry...别在意XDD 02/04 20:39
9F：→ moon2519 :我觉得你的证明方式比较clear耶!! 02/04 20:40
10F：→ ilovecs34 :谢谢 因为我偷懒了很多细节QQ 02/04 21:56